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salut,
je tiens tout d'abord à donner la définition d'une suite extraite d'une suite:
soit [tex](u_{n})[/tex] une suite réelle. on dit que [tex](v_{n})[/tex] est une suite extraite de [tex](u_{n})[/tex] s'il existe une application [tex]\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}[/tex] strictement croissante telle que [tex]v_{n} =u_{\varphi (n)}[/tex].
par exemple: soit la suite [tex](u_{n})[/tex] définie par : [tex]u_{n} = (-1)^{n} [/tex]; la suite
[tex](u_{4n+3})[/tex] est une suite extraite de [tex](u_{n})[/tex].
--d'autre part, il ya quelques propriétés qu'il faut connaitre :
***si [tex](u_{n})[/tex] est une suite convergente alors toute suite extraite converge.
la démonstration repose sur le langage de [tex]\epsilon[/tex] et sur cette proposition qu'on doit démontrer par recurrence: [tex](\forall n\in \mathbb{N} : \varphi (n) \geq n [/tex].
***La réciproque n'est pas vraie , en effet il se peut qu'une suite extraite soit convergente sans que la suite le soit ; c'est le cas de la suite alternée .
*** proposition:
si les deux suites extraites [tex](u_{2n})[/tex] et [tex](u_{2n+1})[/tex] sont convergentes vers la même limite [tex]L[/tex], alors la suite [tex](u_{n})[/tex] converge vers [tex]L[/tex].