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BJR au Forum .
BJR Dr Red1 !!

Ici , le calcul de l'exponentielle de ta matrice A ne pose aucun souci ......
Si on se place dans C .

Le polynôme caractéristique de A est égal à :
PA'X)=Dét { A-X.I3 } = - X^3 +3.X+2
qui se factorise selon
PA(X)=-(X+1).(X^2+X+2)
Il possède dans C trois racines DISTINCTES :
s1=-1 , s2=(1/2).(-1+i.rac(7)) et s3=(1/2).(-1-i.rac(7))

Ainsi la matrice A est DIAGONALISABLE dans C et il existe une matrice P d'ordre , inversible telle que
P^(-1).A.P soit la matrice diagonale D=Diag { s1;s2;s3 }

P est une metrice de changement de Bases ....

Maintenant , tu reviens à la définition formelle de l'exponentielle d'une matrice carrée ( c'est expliqué dans le Topic que je t'ai signalé plus haut avec des interventions pertinentes de Hicham et Mohamed )
exp(A) est la somme de la série de terme général A^n/n! dans l'algèbre de Banach M3(C) .

De la relation P(-1).A.P=D tu tires que A=P.D.P(-1)
En outre on démontre sans difficultés ( par récurrence sur n ) que :
A^n=P.D^n.P(-1) pour chaque entier naturel n .
On démontre aussi que :

SIGMA { k=0 à n ; A^n/n! } = P. SIGMA { k=0 à n ; D^n/n! }.P^(-1)

Si bien que par passage aux limites ( justifié pleinement ) , on obtiendra :

exp(A)=P.exp(D).P(-1)

Enfin , il n'y a aucune difficulté à prouver que :

exp(D) = Diag { exp(s1);exp(s2);exp(s3) }


Ici , j'ai noté :
Diag { u;v;w } avec u,v et w dans C ; la matrice [tex]\begin{pmatrix}u & 0 & 0 \\ 0 & v & 0 \\ 0 & 0 & w \end{pmatrix}[/tex]

Si tu avais d'autres questions , je suis dispo.....


Amicalement . LHASSANE