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Salut

Merci Lhassan pour ce travail.
Puiqu'on a pas moi et toi trouvé le même polynôme , je donne ma réponse et c'est une bonne chose car
Dr Red1 sera obligé lui même de tout refaire pour trouver le bon polynôme caractéristique :


On essaye de voir si [tex]A[/tex] est diagonalisable.
Un calcul donne le polynôme caractéristique de [tex]A[/tex] à savoir : [tex]\chi_A=-X^3+3X+2=-(X - 2)\,(X + 1)^{2}[/tex]

On trouve que [tex]A[/tex] est diagonalisable et que [tex]A=PDP^{-1}[/tex]
avec :
[tex]P = \left[ {\begin{array}{ccc}- a & - a^{2} & a^{2} \\ 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & 1 \end{array}} \right][/tex] , [tex]P^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}- \displaystyle \frac {1}{3\,a} & \displaystyle \frac {2}{3} & - \displaystyle \frac {a}{3} \\ - \displaystyle \frac {1}{3\,a^{2}} & - \displaystyle\frac {1}{3\,a} & \displaystyle \frac {2}{3} \\ \displaystyle \frac {1}{3\,a^{2}} & \displaystyle \frac {1}{3\,a} & \displaystyle \frac {1}{3}\end{array}\right][/tex] et [tex]D= \left[{\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 0 \\0& -1 & 0\\0 & 0 & 2\end{array}} \right][/tex]


Pour ta qustion sur le polynôme minimal , il sert à beaucoup de choses comme par exemple:
1)Le fait qu'il soit scindé à racines simples est équivalent à la matrice est diagonalisable (dans ce cas il vaut selon mes calculs : [tex]\pi_A=(X+1)(X-2)[/tex]
2) Il sert à calculer les puissances d'une matrice plus rapidement que si on fait un calcul direct :
Si on écrit [tex]X^p=Q \pi_A + R[/tex] avec [tex]\deg (R) < \deg (\pi_A)[/tex] alors [tex]A^p=R(A)[/tex]
3) Il donne des informations sur le polynôme cara ctéristique puisque d'après Cayley-Hamilton : [tex]\pi_A | \chi_A[/tex]
4) Il engedre l'idéal des polynômes annulmateurs de la matrice [tex]A[/tex]
5) On arrive à démontrer des résultas théoriques grâce à ce polynôme : Exemple : si un endomorphisme [tex]f[/tex] est diagobalisable et si [tex]F[/tex] est un sous-espace de [tex]E[/tex] stable par [tex]f[/tex] alors l'endomorphsime [tex]g[/tex] de [tex]F[/tex] induit par [tex]f[/tex] est diagonalisable ...(BEINETNEDU [tex]E[/tex] est supposé de dimension finie)