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Salut,

je veux juste ajouter que la similitude de deux matrices carrées est invariable par l'exponentielle:
Plus explicitement, si deux matrices [tex] M [/tex] et [tex]N[/tex] sont semblables, disons : [tex]M=PNP^{-1} [/tex] alors leur exponentielles sont semblables via la même matrice inversible P, c'est-à-dire que [tex]e^M=Pe^NP^{-1}.[/tex]
Cela provient de la définition générale de l'exponentielle d'une matrice (que je viens de voir avec ma classe de spé Mp1 il y'a juste une semaine).
Si [tex]||.||[/tex] est une norme matricielle dans [tex]{\mathcal M}_n({\mathbb K}) [/tex] alors pour toute matrice [tex]M[/tex] la série [tex]\displaystyle \sum \frac{M^n}{n!}[/tex] est convergente car elle est absoluement convergente puisque : [tex]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{||M||^n}{n!} =e^{||M||}[/tex] dans [tex]{\mathbb R}.[/tex]
Par définition, on a donc : [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{M^n}{n!} =e^{M} [/tex]
Comme les sommes partielles de cette série sont des polynômes en [tex]M[/tex] on a le résultat en vertu de ce qu'on a dit en haut à propos de l'invariance de la similitude par les polynômes et par passage à la limite en vertu de la continuité de l'inverse dans [tex]GL_n({\mathbb K})[/tex] et du produit matriciel dans [tex]{\mathcal M}_n({\mathbb K})[/tex]