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Salut
[tex]\bullet[/tex] Avant tout, il ne faut pas croire que [tex]V[/tex] a une structure d'espace vectoriel( c'est un espace affine de direction [tex]W = \bigcap_{i=1}^n \ker f_i[/tex] donc [tex]\dim V = \dim W.[/tex] )
[tex]\bullet[/tex] Le cours de la dualité te donne un résulta central à savoir :
Soit [tex]f[/tex] l'application linéaire de [tex]M_n(K)[/tex] vers [tex]K^n[/tex] tel que [tex](\forall A \in M_n(K) \quad f(A) =(f_1(A), \cdots,f_n(A))[/tex]. Alors [tex]f[/tex] est surjective si et seulement si la famille [tex](f_1,\cdots, f_n)[/tex] est libre.
Tu utilises ensuite le théorème du rang et tu déduit la dimension de [tex]\ker f[/tex]. Je te laise trouver une relation entre [tex]\ker f[/tex] et les [tex]\ker f_i[/tex]
[tex]\bullet[/tex] Pour la liberté de la famille soit [tex]\lambda_1, \cdots , \lambda_n[/tex] des scaliares tel que :[tex]\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i f_i=0[/tex]. pour [tex]k \in\{1,\cdots, n\}[/tex] quelconque, tu appliques cette relation à la matrice élémentaire [tex]E_{kk}[/tex] dont tous les termes sont nuls sauf celui de la ligne et la colonne [tex]k[/tex] qui vaut [tex]1.[/tex]...

PS1 : J'allais dormir à 2h00 mais j'ai translaté de 30 mn pour te secourir. Donc pardon si j'étais succint et si tu ne comprends pas on se verra aprés. Bonne chance !

PS2:[url=http://www.marocprepa.com/site/page.php?5][b][color=red] Tu trouves ici [/color][/b][/url] le DS no1 que j'ai donné cette année à ma classe dans lequel le résultat central ci-dessus est démontré en dimension quelconque (le programme prévoit ce résultat en dim finie).