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Anneau, corps 16/07/2008 à 14h15
Bonjour,

Soit l'ensemble [tex]\large\mathcal{E}=\{\frac{n}{2^{k}}\;,\;(n\,,\,k)\in\mathbb{Z}^{2}\}[/tex].

[tex]\large\(\mathcal{E}\,,\,+\,,\,\times\)[/tex] est-il un anneau? Est-il un corps?

Sa√Įd
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$arah
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Re : Anneau, corps 20/07/2008 à 01h29
slt
1- soit[tex] A[/tex] et[tex] B [/tex] éléments de l'ensemble [tex]\xi[/tex] tel que:
[tex]A=\frac{n}{2^{k}}[/tex] et [tex]B=\frac{m}{2^{i}}[/tex] et [tex](m,n,i,k)\epsilon\mathbb{Z}^{4}[/tex]

on a [tex]\xi\subset\mathbb{Q}[/tex] et on sait que [tex](\mathbb{Q},+)[/tex] est un groupe commutatif
alors il suffit de démontrer que [tex](\xi,+)[/tex] est un sous groupe commutatif
on [tex]A-B=\frac{n}{2^{k}}-\frac{m}{2^{i}}=\frac{n.2^{i}-m.2^{k}}{2^{k+i}}\epsilon\xi[/tex]
donc [tex](\xi,+)[/tex] est un sous groupe commutatif
la distributivité est évidente
donc [tex](\xi,+,.)[/tex] est un anneau

2- [tex]\frac{3}{4}[/tex] est un élément de [tex]\xi[/tex]-{0}
essayons de résoudre l'équation dans [tex]\mathbb{Z}^{2}[/tex] [tex]\frac{3n}{2^{k+2}}=1[/tex]
si [tex]k\epsilon\mathbb{N}[/tex] alors [tex]3/2^{k+2}[/tex] ce ki est faux méme chose si [tex]k=-1 ou k=-2[/tex]
si [tex]k\epsilon\mathbb{Z}_-[/tex] et [tex]k<-2[/tex] donc [tex]n=\frac{1}{3.2^{-k-2}}[/tex]
c ki est faux
alors l'équation n'admet pas de solution donc [tex](\xi,+,.)[/tex] n'est pas un corps
sauf erreur
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laklakh el houssine
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Re : Anneau, corps 20/07/2008 à 01h55
bonsoir,
---si l'on veut appliquer la propriété caractéristique d'un sous-groupe, il te reste à signaler que :
[tex]\xi \neq [/tex]l'ensemble vide.
---il manque encore l'associativité de la multiplicatin dans [tex]\xi[/tex].
---la distributivité est évidente, comment peux-tu la prouver?
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$arah
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Re : Anneau, corps 20/07/2008 à 02h35
---soit [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] deux éléments de [tex]\xi[/tex]
tel que [tex]A=\frac{n}{2^{k}}[/tex] et [tex]B=\frac{m}{2^{i}}[/tex]
on a [tex]\xi\subset\mathbb{Q}[/tex] et . est une LdCI dans [tex]\mathbb{Q}[/tex]
alors on montre que [tex](\xi,.)[/tex] est une partie stable de [tex](\mathbb{Q},.)[/tex]
[tex]\xi\neq[/tex] l'ensemble vide
[tex]A.B=\frac{nm}{2^{k+i}}\epsilon\xi[/tex]
donc [tex](\xi,.)[/tex] est une partie stable de [tex](\mathbb{Q},.)[/tex]
et puisque . est associative dans [tex]\mathbb{Q}[/tex] on déduit alors que . est associative dans [tex]\xi[/tex]

------ [tex](\xi,.)[/tex] est une partie stable de [tex](\mathbb{Q},.)[/tex] et [tex](\xi,+)[/tex] est une partie stable de [tex](\mathbb{Q},+)[/tex] on déduit a travers la distibutivté dans [tex]\mathbb{Q}[/tex], la distributivité dans [tex]\xi[/tex]
sauf erreur
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laklakh el houssine
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Re : Anneau, corps 20/07/2008 à 03h05
bonsoir,
c'est très bien,seulement pour la la stabilité on n'a pas besoin de :[tex]\xi \neq \emptyset[/tex].
--et pour parler de corps, on doit quand même signaler que c'est un anneau unitaire quoique ce soit évident.
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Mohamed
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Re : Anneau, corps 22/07/2008 à 15h52

bonjour :

il es important de parler un peu de cet anneau prposé par said
il y a un autre façon de le voir .
En effet [tex]\mathcal E[/tex] n'est autre que l'ensemble des réels ayant
dans le systéme de numération de base [tex]2[/tex] une écrure de la forme:

[tex]\bf \huge x=\pm\overline{b_n...b_0,a_1...a_m}[/tex]


avec : [tex](n,m) \in {\mathbb N} \times {\mathbb N}^*[/tex] et les [tex]a_i[/tex] et les [tex]b_j[/tex] valent [tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex] .

ce qui veut dire : [tex]\bf \huge \displaystyle x =\pm \left( \sum_{k=0}^{n} b_k 2^k + \sum_{k=1}^{m} a_k 2^{-k} \right)[/tex]


En d'autres termes ce sont les réels ayant un developpement fini dans le systéme
de numération de base [tex]2[/tex] .

Ceci nous fait tout de suite penser aux nombres décimaux lorsqu'il s'agit du systéme
décimal

en théorie c'est associé à la notion de localisation par une partie multiplicative ....
en l'occurence [tex]S=\{2^k / k \in {\mathbb Z} \} [/tex]
partie multiplicative de [tex]\mathbb Q[/tex] c'est à dire stable par la multiplication ....

J'invite les élèves de prouver l'égalité des deux ensembles ...
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