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Admin
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Intégration 06/08/2008 à 21h25
Bonsoir,

Soit [tex]\large f[/tex] une fonction de [tex]\large [0\,,\,1][/tex] vers [tex]\large\mathbb{R}[/tex], continue

Trouver la limite de la suite de terme général :

[tex]\large u_n=n\,\int_{0}^{1}\,x^nf(x)dx[/tex]


Saïd
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 callo
Re : Intégration 08/08/2008 à 03h48
Bonjour :d,
on considère la fonction :g(x)=f(x)*x^n
g est continue sur [0,1] donc elle admet une fonction primitive G,
G est dérivable sur ]0,1[ et continue sur [0,1] donc d'après le th des acroissements finis:
il existe c £ ]0,1[ t q : g(c)=U_n/n
d'où :

U_n=n[e^(n*ln(c))]* f(c) et c £ ]0,1[ donc ln(c) est négatif...d'où lim(u_n)=0
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Mansouri
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Re : Intégration 20/08/2008 à 22h52


Bonsoir
méthode correcte mais si on considère une fonction constante non nulle sur [tex][0,1][/tex] ou une fonction telle que [tex] f(x)=x^m[/tex] avec [tex] m[/tex] un entier non nul on trouve une autre limite non nulle , à vérifier .
Mansouri


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laklakh el houssine
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Re : Intégration 31/08/2008 à 02h20
bonsoir,
la dernière ligne de callo n'est pas correcte et le contre exemple de Mr Mansouri est à sa place.
En voici un c.exemple assez clair : [tex]f[/tex] définie sur [tex][0,1][/tex] par : [tex]f(x)=1[/tex]
dans ce cas-ci , on a : [tex]u_{n}=\frac{n}{n+1}[/tex] et [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=1[/tex]
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Re : Intégration 27/09/2008 à 00h23
Bonsoir

on attend l'intervention de Mr Said
pour nous donner son point de vu
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evariste

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Re : Intégration 30/09/2008 à 22h10
Bonsoir,

La méthode de callo est fausse malheureusement, en fait le [tex]c[/tex] figurant dans sa méthode dépend de [tex]n[/tex] et il vaudrait mieux de le noter [tex]c=c_n[/tex] pour ne pas l'oublier, on peut rien dire par conséquent sur la limite de [tex]n\ln(c_n)[/tex].

je donnerai ici une esquisse de preuve, et je vous laisse la rédaction rigoureuse.

D'abord notons que [tex]f[/tex] est continue sur [tex][0,1][/tex] donc bornée, soit par un réel positif [tex]M[/tex].

soit [tex]\alpha\in ]0,1[[/tex], alors [tex]u_n=n\int_0^{\alpha}x^nf(x)dx+n\int_{\alpha}^{1}x^nf(x)dx[/tex]

le premier terme est majoré en valeur absolue par [tex]M\int_0^{\alpha}x^ndx=M\frac{\alpha^{n+1}}{n+1}[/tex] et on constate que ce terme tend vers [tex]0[/tex] pour toute valeur de [tex]\alpha\in]0,1[[/tex]. La limite de [tex]u_n[/tex] se concentre donc sur le deuxième terme, remarquons par ailleurs que si [tex]\alpha[/tex] est très proche de [tex]1[/tex], alors le deuxième terme [tex]n\int_{\alpha}^{1}x^nf(x)dx[/tex] avoisine [tex]\sim f(1)n\int_{\alpha}^{1}x^ndx=f(1)\frac{n}{n+1}(1-\alpha^{n+1})\sim f(1)[/tex], on peut donc s'attendre à ce que la limite cherchée soit [tex]f(1)[/tex], reste à mettre tout ça au propre avec des epsilon et des alpha..etc.

Remarquez également qu'on peut se ramener au cas [tex]f(1)=0[/tex]
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Mansouri
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Re : Intégration 01/10/2008 à 13h35
Bonjour
Je viens de voir votre intervention merci
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