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Admin
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Suites, convergence, limite 10/07/2008 à 11h08
Bonjour,

soient [tex]\large (x_{n})[/tex] et [tex]\large (y_{n})[/tex] deux suites réelles définies pour tout entier naturel [tex]\large n[/tex] par :


[tex]\large \left\{x_{n+1}=\frac{x_{n}-y_{n}}{2}\\y_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2}\\right.[/tex]


Démontrer que les suites [tex]\large (x_{n})[/tex] et [tex]\large (y_{n})[/tex] sont convergentes et déterminer leurs limites respectives.

Sa√Įd
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Admin
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Re : Suites, convergence, limite 15/07/2008 à 17h27
Bonjour,

Je vois que cette question n'a pas inspiré bcp de monde ;-). Voici une indication.

Poser [tex]\large z_{n}=x_{n}+i\,y_{n}[/tex].

Exprmier [tex]\large z_{n+1}[/tex] en fonction de [tex]\large z_{n}[/tex] puis trouver une relation de récurrence entre [tex]\large z_{n}\,,\,z_{0}[/tex] et [tex]\large n[/tex] puis conclure.


Sa√Įd
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 visiteur
Re : Suites, convergence, limite 15/07/2008 à 18h52
Salut,
Vous n'avez pas donné les valeurs de [tex]x_{0}[/tex] et [tex]y_{0}[/tex]
Merci.
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Chebychev
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Re : Suites, convergence, limite 15/07/2008 à 22h29
Salut,
on montre d'abord que[tex] \Large (\forall n\in\mathbb{N}) z_{n+1}=\frac{1+i}{2}z_{n}[/tex]

on deduit que [tex]\large (\forall n\in\mathbb{N}) z_{n}=\frac{1}{\sqrt{2^n}}e^{i\frac{n\pi}{4}}z_{0}=\frac{1}{\sqrt{2^n}}(x_{0}\cos(\frac{n\pi}{4})-y_{0}\sin(\frac{n\pi}{4}))+i\frac{1}{\sqrt{2^n}}(x_{0}\sin(\frac{n\pi}{4})+y_{0}\cos(\frac{n\pi}{4}))[/tex]

puisque [tex]\large x_{n}=Re(z_{n}) et y_{n}=Im(z_{n})[/tex]

on a [tex]\large x_{n}=\frac{1}{\sqrt{2^n}}(x_{0}\cos(\frac{n\pi}{4})-y_{0}\sin(\frac{n\pi}{4})) et y_{n}=\frac{1}{\sqrt{2^n}}(x_{0}\sin(\frac{n\pi}{4})+y_{0}\cos(\frac{n\pi}{4}))[/tex] pour tout entier naturel n.

on a [tex]|x_{n}|\leq \frac{1}{\sqrt{2^n}}(|x_{0}|+|y_{0}|)[/tex]

et [tex]|y_{n}|\leq \frac{1}{\sqrt{2^n}}(|x_{0}|+|y_{0}|)[/tex]

puisque[tex] \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{\sqrt{2^n}}(|x_{0}|+|y_{0}|)=0[/tex]

il en découle que[tex] (x_{n})[/tex] et [tex](y_{n})[/tex] sont convergentes est convergent vers [tex]0[/tex]

A+
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Admin
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Re : Suites, convergence, limite 16/07/2008 à 09h49
Hello Chebychev,

Qu'en est-il de la convergence et de la limite des suites [tex]\large (x_{n})[/tex] et [tex]\large (y_{n})[/tex]? C'était l'objet de cet exercice !

Pour visiteur, il n'est pas n√©cessaire ici de conna√ģtre [tex]\large x_{0}[/tex] et [tex]\large y_{0}[/tex]
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Chebychev
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Re : Suites, convergence, limite 16/07/2008 à 13h51
Salut,
Pouvez vous nous expliquer comment vous avez eu l'idée d'introduire la suite (z_{n}).
Merci
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Admin
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Re : Suites, convergence, limite 16/07/2008 à 13h52
re Chebychev,

Tu as oublié un [tex]\large n[/tex] dans l'expression que tu as donné de [tex]\large z_{n}[/tex] et sans ce [tex]\large n[/tex], tu ne peux pas conclure !

un autre façon pour répondre à cette question consiste en ceci : [tex]\large\begin{pmatrix}x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{n} \\ y_{n} \end{pmatrix}=A\,\times\begin{pmatrix}x_{n} \\ y_{n} \end{pmatrix}[/tex] avec [tex]\large A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}[/tex]

Ce qui revient, moyennant quelques conditions, à [tex]\large\begin{pmatrix}x_{n} \\ y_{n} \end{pmatrix}[/tex][tex]=A^{n}\,\times\,[/tex][tex]\begin{pmatrix}x_{0} \\ y_{0} \end{pmatrix}[/tex]

Mais le calcul de [tex]\large A^{n}[/tex] est une autre bataille, quand on sort de terminale :-D

Ceci dit, je poserai la démarche sous forme de quelques questions.
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Admin
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Re : Suites, convergence, limite 16/07/2008 à 14h06
Hello,

La première idée qui m'était venue était d'utiliser la méthode matricielle, mais comme celle-ci est hors périmètre de la terminale/début de SUP, il a fallu que j'en trouve une autre.

Disons que ce qui m'a mis sur la voix c'est un peu d'intuition et d'observation.
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Chebychev
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Re : Suites, convergence, limite 16/07/2008 à 15h16
Salut Said,
Je ne comprends pas ce que ça veut dire [tex]{x_{n} \choose y_{n}}.[/tex]on aetudier des matrice appartenant à [tex]\large\cal{M_{2}}(\mathbb{R}) et \large\cal{M_{3}}(\mathbb{R})[/tex].
Que doit je conclure pour la questions?
A+
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Admin
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Re : Suites, convergence, limite 16/07/2008 à 16h14
Hello Chebychev,

Les matrices qu'on voit en terminale sont des matrices carrées >> Nombre de ligne = Nombre de colonnes.

L'écriture [tex]\large\begin{pmatrix}x_{n} \\ y_{n} \end{pmatrix}[/tex] désigne la matrice à deux lignes et une colonne.

Concernant la conclusion, il faut montrer que les suites [tex]\large (x_{n})[/tex] et [tex]\large (y_{n})[/tex] convergent et que [tex]\large\lim_{n\to +\infty}\,x_{n}=\lim_{n\to +\infty}\,y_{n}=0[/tex], et cela, tu as déjà trouvé toutes les billes pour le faire ;-)
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kharbat khalid
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Re : Suites, convergence, limite 16/07/2008 à 17h13
bonsoir Mr said bonsoir à tous

la matrice à deux lignes et une colonne n'était pas au programme de terminal SM
pour cela on pose pour chaque entier naturel n :[tex]M_{n}=\begin{pmatrix}x_{n} & y_{n} \\ x_{n} & y_{n} \end{pmatrix}[/tex]
vérifier que pour chaque entier naturel n[tex]M_{n+1}=AM_{n}[/tex]
avec la convention [tex]A^{0}=I[/tex] la matrice unité montrer que pour chaque entier naturel n[tex]M_{n}=A^{n}M_{0}[/tex] en déduire la valeur de [tex]x_{n} [/tex]et [tex]y_{n}[/tex]
à propos de la méthode de mr Chebychev c'était juste sauf la dérnière ligne (égalité de deux nombres complexes)

je laisse mr Chebychev corrigera l'erreur
merci .
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Chebychev
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Re : Suites, convergence, limite 18/07/2008 à 12h37
Salut,
J'ai apporté les modifs requis. mais Qu'en est il de l'autre methode (avec les matrices.)
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laklakh el houssine
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Re : Suites, convergence, limite 18/07/2008 à 13h54
bonjour,

---pour ce qui est de l'écriture matricielle, je me donne l'exemple suivane c'est celui du système linéaire connu :
[tex]\large \left\{c=ax+by=\\c'=a^{'}x+b^{'}y=\\right [/tex] [tex] \Leftrightarrow \begin{pmatrix}c \\ c' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b \\ a' & b' \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} (*)[/tex]
l'écriture [tex](*)[/tex] s'appelle l'écriture matricielle.
--l'écriture [tex]\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}[/tex] s'appelle matrice à [tex]2[/tex]lignes et une colonne, on l'appelle aussi matrice unicolonne.
--l'écriture [tex]( x y )[/tex] s'appelle matrice à une ligne et [tex]2[/tex] colonnes, on l'appelle aussi matrice uniligne.
***effectivemenr, on peut résoudre ce problème en utilisant l'écriture matricielle.
ind:

---v√©rifier que :[tex] \begin{pmatrix}x_{n} \\ y_{n} \end{pmatrix}=A ^{n} \begin{pmatrix}x_{0} \\ y_{0} \end{pmatrix}[/tex] o√Ļ [tex]A[/tex] est une matrice connue.
--- calculer [tex]A^{n} [/tex], pour ce faire , remarquer que : [tex]A=\frac{1}{2}B[/tex] et [tex]B=I+N[/tex] o√Ļ [tex]I[/tex] est la matrice identique et [tex]N^{2}=-I [/tex].
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