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ABB
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SUITE DIVERGENTE 2 14/07/2008 à 01h10
BONSOIR

Je propose l'exercice suivant:

soit [tex](x_{n})[/tex] une suite numérique à termes strictement positifs
On considère la suite [tex](u_{n}) [/tex]définie par:

[tex]\Large (\forall n\in \mathbb{N}^*)(u_{n}=\Large \sum_{p=0}^{p=n-1}{\sqrt{x_{p}^{2}+x_{p+1}^{2}-2x_{p}x_{p+1}cos(\frac{\pi}{2n})}})[/tex]

Montrer que :si [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}x_{n}=+\infty[/tex] alors[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty[/tex]
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laklakh el houssine
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Re : SUITE DIVERGENTE 2 15/07/2008 à 00h41
bonsoir,

remarquer que [tex]-1 \leq cos (\frac{\pi}{2n} ) \leq 1[/tex]
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Chebychev
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Re : SUITE DIVERGENTE 2 15/07/2008 à 12h07
salut,
est il vrai que [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}x_{n}=+\infty \Rightarrow (x_{n})[/tex] est croissante?
A+
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ABB
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Re : SUITE DIVERGENTE 2 15/07/2008 à 13h00
Bonjour

Mr Chebychev, ton affirmation est fausse, il suffit de penser à la suite[tex] (n(2+cosn))[/tex] par exemple
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ABB
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Re : SUITE DIVERGENTE 2 15/07/2008 à 13h29
Bonjour

Indication pour résoudre l'exercice proposé

Montrer que pour tout p de [tex]\{0;.....,n-1}[/tex] On a :


[tex]\Large |x_{p+1}-x_{p}| \leq\sqrt{x_{p}^{2}+x_{p+1}^{2}-2x_{p}x_{p+1}cos(\frac{\pi}{2n})}[/tex]

utiliser en suite la relation[tex]| \Large \sum_{p=0}^{p=n}{a_{p}}|\leq \Large \sum_{p=0}^{p=n}{|a_{p}|}[/tex]
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iyad
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Re : SUITE DIVERGENTE 2 15/07/2008 à 15h01
salut;
on a [tex]-1 \leq cos(\frac{\pi}{2n}) \leq 1[/tex]
c a d [tex]-2x_{p}x_{p+1} \leq -2x_{p}x_{p+1}cos(\frac{\pi}{2n}) \leq 2x_{p}x_{p+1}[/tex]
c a d [tex]x_{p+1}^{2}+x_{p}^{2}-2x_{p}x_{p+1} \leq x_{p+1}^{2}+x_{p}^{2}-2x_{p}x_{p+1}cos(\frac{\pi}{2n}) \leq x_{p+1}^{2}+x_{p}^{2}+2x_{p}x_{p+1}[/tex]
c a d [tex](x_{p+1}-x_{p})^{2} \leq x_{p+1}^{2}+x_{p}^{2}-2x_{p}x_{p+1}cos(\frac{\pi}{2n}) \leq ]x_{p+1}+x_{p})^{2}[/tex]
ca a d [tex]/x_{p+1}-x_{p}/\leq \sqrt{x_{p+1}^{2}+x_{p}^{2}-2x_{p}x_{p+1}cos(\frac{\pi}{2n}) }[/tex]
or [tex]\Large \sum_{p=1}^{p=n}{/x_{p+1}-x_{p}/} \leq \Large \sum_{p=1}^{p=n}{\sqrt{x_{p+1}^{2}+x_{p}^{2}-2x_{p}x_{p+1}cos(\frac{\pi}{2n}) }}[/tex]
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Chebychev
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Re : SUITE DIVERGENTE 2 15/07/2008 à 16h02
Salut,
Continuons:

on a bien[tex] \large |x_{p+1}-x_{p}|\geq |x_{p+1}|-|x_{p}|[/tex]

c a d [tex] \large |x_{p+1}-x_{p}|\geq x_{p+1}-x_{p}[/tex]

d'ou[tex]\Large\sum_{p=0}^{p=n-1}|x_{p+1}-x_{p}|\geq \Large \sum_{p=0}^{p=n-1}x_{p+1}-

\Large \sum_{p=0}^{p=n-1}x_{p}[/tex]

puique [tex]\Large \sum_{p=0}^{p=n-1}x_{p+1}-\Large \sum_{p=0}^{p=n-1}x_{p}[/tex]

[tex]=\Large\sum_{p=1}^{p=n}x_{p}-\Large \sum_{p=0}^{p=n-1}x_{p}=x_{n}-x_{0}[/tex]

c a d[tex] \large |x_{p+1}-x_{p}|\geq x_{n}-x_{0}[/tex]

il en decoule que [tex]\Large \forall n\geq 1 u_{n}\geq x_{n}-x_{0}[/tex]

puisque[tex] \lim_{n\rightarrow +\infty}x_{n}-x_{0}=+\infty[/tex]

on obtient[tex] \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty[/tex]
Merci Mr Lhoussine pour les remarques,veuillez mieux eclaircir votre indication
A+
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laklakh el houssine
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Re : SUITE DIVERGENTE 2 15/07/2008 à 16h37
salut,
---Mr chebychev , l'indice [tex]p[/tex] démarre à partir de [tex]0[/tex] ; d'autre part, c'est bien d'exploiter l'inégalité déduite de l'inégalité triangulaire , aussi sera utile de remarquer que :
[tex](\forall \in \mathbb{R} ) : x\leq |x|[/tex]
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