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m.sharapova
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encore les suites 23/07/2008 à 14h26
salut,
[tex]\Large S_n=\sum_{k=0}^{k=n}\frac{a_{k}}{3^{k}}[/tex]
montrer que [tex](S_n)_n[/tex]est convergente
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 Ramanujan
Re : encore les suites 23/07/2008 à 16h27
salut,
tu precise d'abord la nature de [tex]a_k[/tex] pour pouvoir aborder le exo, demoiselle maria sharapova.
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m.sharapova
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Re : encore les suites 23/07/2008 à 18h51
salut,
[tex]a_{k}[/tex]est une suite qui varie par rapport aux valeurs de [tex]k [/tex] .
C'est tout ce que je peux dire .
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iyad
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Re : encore les suites 23/07/2008 à 19h55
salut
la question nous demande de montrer que [tex]a_{k}[/tex]qui converge ou bien la suite difinie par le somme....
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Mohamed
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Re : encore les suites 24/07/2008 à 00h28

Bonsoir :
Il est claire que des hypothéses sur les [tex]a_k[/tex] manquent

en effet si par exemple on prends [tex]a_k=3^{k+1}[/tex] il est claire que

[tex](S_n)[/tex] est divergente (elle tends vers [tex]+\infty[/tex] )

=====================

un cas interressant de convergence est lorsqu'on ajoute l'hypothése suivante :

[tex] \LARGE \b \forall k \in {\mathbb N } \qquad a_k \in \{ 0,1,2 \} [/tex]





Pour ceux qui veulent pousser bien leur recherche je suggére la question suivante :


Démontrer que pour tout nomber réel [tex]x[/tex] , il existe un entier relatif [tex]N_x[/tex] et une suite [tex](a_k)_{k \geq 1 }[/tex] à valeurs dans l'ensemble [tex] \{ 0,1,2 \} [/tex] tel que :

[tex] \displaystyle \LARGE \b x= N_x + \lim_{n \to +\infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{3^k} \right)[/tex]






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laklakh el houssine
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Re : encore les suites 24/07/2008 à 00h47
bonsoir,

si l'on ajoute une condition que vérifie la suite [tex](a_{n})[/tex], c'est: [tex](\forall n\in \mathbb{N} ) : 0\leq a_{n}\leq 1[/tex], on aura répondu à la question.
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Mohamed
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Re : encore les suites 24/07/2008 à 00h54

bonsoir

oui Lhoussaine mais on peut dire :

il suffit que la suite [tex](a_n)[/tex] soit bornée pour avoir la convergence de [tex](S_n)[/tex]


et bienentendu ce n'est pas une condition necessaire car pour [tex]a_k=2^k[/tex] par exemple
la suite [tex](S_n)[/tex] converge ....



je vois q'un bon théme est de chercher l'ensemble de toutes les suites [tex](a_n)[/tex] qui donnent la convergence de [tex](S_n)[/tex]



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laklakh el houssine
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Re : encore les suites 24/07/2008 à 16h30
salut mr mohamed, puisqu'on nage dans une petite rivière, on nage n'importe comment, je pensais à la série absolument convergente , j'éspère que tu partages avec moi cette conception .
la convergence absolue implique la convergence simple.et la réciproque n'est pas vraie.(se référer à la série alternée)
d'après le critère de convergence des series à termes positifs ; si [tex]u_{n} \leq v_{n} [/tex] à partir d'un certain rang alors si [tex]\Large \sum v_{n} < \infty [/tex] alors[tex]\Large \sum u_{n}< \infty [/tex] .
donc effectivement mr mohamed, le cas o√Ļ [tex](a_{n})[/tex] est born√©e , la convergence de [tex](S_{n})[/tex] aura lieu.
**d'autres conditions suffisantes:
---selon le critère de D'Alembert,
si [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 3[/tex] ,alors la suite [tex](S_{n})[/tex] converge.

--- selon le critère de Cauchy, si[tex] \lim_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_{n}} < 3[/tex], alors la suite [tex](S_{n})[/tex] converge.
**condition necessaire de convergence:

si la suite [tex] (S_{n})[/tex] converge alors [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n}}{3^{n}}=0[/tex]
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Mohamed
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Re : encore les suites 25/07/2008 à 02h53
bonsoir :

[tex]\bullet[/tex]Merci Lhoussain pour les ajouts.

[tex]\bullet[/tex] Effectivement je n'ai pas compris le fait de nager dans une petite riviére ...

[tex]\bullet[/tex]Je préfére éviter de parler des series puisqu'il s'agit ici dans cette rubrique d'élèves qui viennent juste d'avoir leur bac...alors que les series ne figurent pas au programme de MPSI ....

[tex]\bullet[/tex] on peut alors procéder d'une façon qui améne cette catégorie d'élèves à
comprendre pourquoi le fait que [tex](a_n)[/tex] bornée donne la convergence espérée ...

Merci encore une fois pour ta disponibilité ..

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laklakh el houssine
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Re : encore les suites 25/07/2008 à 05h07
bonsoir,

je remercie mr mohamed de m'avoir répondu de cette manière.
---je veux dire par nager dans une petite rivière c'est chercher des conditions sur [tex](a_{n})[/tex] pour que la convergence de la suite [tex](S_{n})[/tex] ait lieu . et nager n'importe coment c'est tatonner de trouver certaines conditions suffisantes comme la mienne qui t'a paru un peu faible et j'avoue que c'est bien vrai.
---supposons que la suite [tex](a_{n})[/tex] est bornée alors :
[tex](\exists M \in \mathbb{R}^{+}) (\forall n \in \mathbb{N} ) : |a_{n}|\leq M[/tex]
posons pour tout [tex]n \in \mathbb{N} [/tex], [tex]T_{n}=\Large \sum_{k=1}^{n}{|\frac{a_{k}}{3^{k}}}|[/tex]

on a : : [tex](\forall k \in \mathbb{N} ) : |\frac{a_{k}}{3^{k}}|\leq \frac{M}{3^{k}}[/tex] donc
[tex](\forall n \in \mathbb{N} ) : T_{n} \leq M \Large \sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{3^{k}}}[/tex]
or[tex] \Large \sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{3^{k}}}=\frac{3}{2}(1-(\frac{1}{3})^{n+1}<\frac{3}{2}[/tex] par suite la suite [tex](T_{n})[/tex] est majorée par[tex] \frac{3}{2}M[/tex].
d'autre part, il est facile de montrer que [tex](T_{n})[/tex] est croissante , il suffit d'écrire :
[tex]T_{n+1}-T_{n}=\frac{|a_{n+1}|}{3^{n+1}} \geq 0[/tex] donc la suite [tex](T_{n})[/tex] est convergente.
--si on veut pousser un peu la recherche, on aura besoin d'autres concepts (comptés théoriques) par exemple le critère de Cauchy qui se présente sous forme de condition N et S de convergence, d'autant plus, on se servira du lien entre la convergence absolue et la convergence simple.
---Toute fois, on peut prévoir que la question posée initialement a pour objectif de représenter un nombre dans le developpement de base [tex]3[/tex].
, pour celà, on va demander à [tex]a_{k}[/tex] d'appartenir à l'ensemble [tex]\{0,1,2}[/tex] pour tout [tex]k \in \mathbb{N} ^{*}[/tex];et [tex]a_{0}[/tex] un entier naturel positif .
sous cette condition, on peut écrire:

[tex](\forall n \in \mathbb{N} ) : S_{n} \leq a_{0}+3 \Large \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{3^{k}}}[/tex].
or [tex]\Large \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{3^{k}}}}=\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{3})^{n}) < \frac{1}{2}[/tex] d'o√Ļ [tex](\forall n \in \mathbb{N} ) : S_{n} \leq a_{0}+\frac{1}{2}[/tex] donc la suite [tex](S_{n})[/tex] est major√©e.
d'autre part, la suite [tex](S_{n})[/tex] est croissante .


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lvovitch
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Re : encore les suites 25/07/2008 à 20h44
salut,

Que signifie: [tex]\Large \sum_{p=0}^{p=n}{u_{n}} \leq +\infty[/tex]
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Mohamed
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Re : encore les suites 26/07/2008 à 00h05

bonsoir :

Merci Lhoussaine pour l'intervention enrichissante .

Pour Ivovitch , tu as raison de te poser cette question mais essaye de

bien voir en haut : Lhoussaine a écrit :


[tex]\Huge (1) \quad \quad \displaystyle \sum u_n < +\infty[/tex]


et non pas :


[tex]\Huge (2) \quad \quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n} u_k \leq +\infty[/tex]



et comme tu le vois il y a des différences entres les deux écritures :

Dans [tex](1)[/tex] il n y a pas de compteur pour l'indice : c'est une sommation vague ...alors
que dans [tex](2)[/tex] on a [tex]k[/tex] qui varie de [tex]1[/tex] à [tex]n[/tex] ....

Dans [tex](1)[/tex] on a [tex]<[/tex] alors que dans [tex](2)[/tex] on a [tex]\leq [/tex]


Aprés cette remarque j'essaye de t'expliquer ce que cela veut dire :

Soit [tex](u_n)_{n \geq 1}[/tex] une suite réelle . On définit la suite : [tex]\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n u_k[/tex] .

Si la suite [tex](S_n)_{n \geq 1} [/tex] converge on note sa limite [tex]\displaystyle S = \sum_{k=1}^{+\infty} u_k[/tex] .


Si les [tex]u_n[/tex] sont positifs alors on a deux et seulement deux cas :

Soit [tex](S_n)[/tex] converge soit [tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} S_n = +\infty[/tex]

Dans le second cas , on écrit : [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_n = +\infty[/tex] alors
que dans le prmier cas on convient d'écrire : [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_n < +\infty[/tex]

Tu comprends donc le sens de [tex]S<+\infty[/tex] .

Tout d'abord pour écrire cela il faut que [tex]S \in {\mathbb R} \cup \{+\infty\}[/tex] , ensuite

si [tex]S \in {\mathbb R} \cup \{+\infty\}[/tex] alors tout simplement : [tex]S<+\infty[/tex] veut dire que [tex]S \in {\mathbb R} [/tex]

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lvovitch
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Re : encore les suites 26/07/2008 à 01h57
salut,

merci m.mohamed pour votre explication.

qu.la différence entre le fait que:

S=[tex]\lim_{x\rightarrow +\infty}u_{n}[/tex] soit [tex]\leq\infty [/tex] et[tex] < \infty[/tex]
merci d'avance.
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Mohamed
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Re : encore les suites 26/07/2008 à 23h52
bonsoir

[tex]\leq +\infty[/tex] veut dire : elle vaut un nombre réel ou [tex]+\infty[/tex]

[tex]< +\infty[/tex] veut dire : elle vaut un nombre réel
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