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iyad
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la limite d'une somme 11/07/2008 à 19h50
soit[tex] f [/tex]la fonction définie ur l'intervalle [tex][0,1][/tex]par [tex]f(x)=cos(\pi x)[/tex]
pour tout entier naturel [tex]n \geq 2[/tex] on pose [tex]S_{n}=\frac{1}{n}[f(0)+f(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+.....+f(\frac{n-1}{n})][/tex]
calculer[tex]\lim_{x\rightarrow +\infty}S_{n}[/tex]
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Chebychev
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Re : le limite d'une somme 11/07/2008 à 21h32
Salut,
[tex] S_{n}=\frac{1-0}{n}\Large \sum_{k=0}^{k=n-1}f(0+k\frac{1-0}{n})[/tex]
avec[tex] f[/tex] est continue sur [tex]\large [0,1][/tex]
donc selon les somations de Reimman:
[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}=\Large \int_{0}^{1}f(x)dx=\Large \int_{0}^{1}cos(\pi x)dx = 0.[/tex]
Veuillez réctifier ma démarche, et m'ajouter d'autres (si elles existent).
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iyad
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Re : la limite d'une somme 13/07/2008 à 00h13
bonsoir Chebychev (utilisation des nombres complexes)
on a [tex]S_{n}=\frac{1}{n}[f(0)+f(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+...+f(\frac{n-1}{n})][/tex]
[tex]=\frac{1}{n}\Large \sum_{k=0}^{k=n-1}{f(\frac{k}{n})}[/tex]
[tex]=\frac{1}{n}\Large \sum_{k=0}^{k=n-1}cos(\frac{\pi k}{n})[/tex]
[tex]=\frac{1}{2n}\Large \sum_{k=0}^{k=n-1}(e^{i\frac{\pi k}{n}}+e^{-i\frac{\pi k}{n}})[/tex]
[tex]=\frac{1}{2n}\Large \sum_{k=0}^{k=n-1}(e^{i\frac{\pi k}{n}})+(\frac{1}{2n}[\Large \sum_{k=0}^{k=n-1}e^{-i\frac{\pi k}{n}})[/tex]
or[tex] \Large \sum_{k=0}^{k=n-1}(e^{i\frac{\pi k}{n}} =\frac{1-e^{i \pi}}{1-e^{i\frac{\pi}{n}}}[/tex]
=[tex]\frac{2}{1-e^{i\frac{\pi}{n}}} =i\frac{e^{-i\frac{\pi}{2n}}}{sin(\frac{\pi}{2n})}[/tex]
de méme en trouve que [tex]\Large \sum_{k=0}^{k=n-1}e^{-i\frac{\pi k}{n}})[/tex]=[tex]-i\frac{e^{-i\frac{\pi}{2n}}{sin(\frac{\pi}{2n})}[/tex]
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iyad
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Re : la limite d'une somme 13/07/2008 à 11h55
salut qui peut terminer cette methode
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Chebychev
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Re : la limite d'une somme 13/07/2008 à 13h32
Salut iyad,
j'ai pas compris comment tu as fait pour trouver que [tex]\Large \sum_{k=0}^{k=n-1}{e^{i\frac{k\pi}{n}}}=\frac{1-e^{i\pi}}{1-e^{i\frac{\pi}{n}}}[/tex]
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iyad
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Re : la limite d'une somme 13/07/2008 à 14h04
bonjour Mr Chebychev
Remarquer que [tex]U_{k}=e^{i\frac{k\pi}{n}}[/tex]est une suite géometrique
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Chebychev
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Re : la limite d'une somme 13/07/2008 à 19h58
Bonsoir,
Merci iyad pour l'explication.
Je pense qu'on peut pas parler de suite geométrique ici car cette derniere n'est définie que lorsq'on travaille dans [tex]\mathbb{R}[/tex](ie:les suites numérique)
alors on se propose de trouver une autre maniere(loin des suite géométrique) mais qui donnera le meme resultas.(Je ferai rien la_dessus jusqu'a que les autres interviennent)
Continuons l'exo:
on a :[tex]\Large \sum_{k=0}^{k=n-1}{e^{i\frac{k\pi}{n}}}=i\frac{e^{-i\frac{\pi}{2n}}}{\sin(\frac{\pi}{2n})}[/tex] et :[tex]\Large \sum_{k=0}^{k=n-1}{e^{-i\frac{k\pi}{n}}}=-i\frac{e^{i\frac{\pi}{2n}}}{\sin(\frac{\pi}{2n})}[/tex]
donc [tex]\forall n\geq 2 S_{n}=\frac{1}{n} [/tex](apres simplification)
il en découle que [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}=0[/tex]
Merci iyad pour cette methode superbe.
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laklakh el houssine
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Re : la limite d'une somme 14/07/2008 à 13h55
bonjour,

---si on veut utiliser les sommes de Riemann, il suffit que la fonction f satisfait les deux conditions :
la continuité et la monotonie.
---même si on ne parle pas de suite géométrique complexe, il ya une autre issue, qui repose sur les régles de calcul dans l'ensemble [tex]\mathbb{C}[/tex].
---dans un anneau (A,+, x) où deux élèments [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] commutent (ie [tex]ab=ba)[/tex] , on a : pour tout [tex]n[/tex] entier naturel supérieur ou égal à [tex]2[/tex]:
[tex]a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})[/tex]
ce résultat peut se démontrer par recurrence sur [tex]n[/tex].
---si l'on remarque que [tex](\mathbb{C}, + , . )[/tex] est un anneau commutatif , la formule précédente reste vraie pour tous [tex]a ; b[/tex] de [tex]\mathbb{C}[/tex].
---on se place dans le cas particulier:
[tex](\forall a \in \mathbb{C} ) (\forall n \in \mathbb{N}-\{0,1}) : 1-a^{n}=(1-a)\Large \sum_{k=0}^{n-1}{a^{k}}[/tex] donc si [tex] a\neq 1[/tex], alors :
[tex]\Large \sum_{k=0}^{n-1}{a^{k}}=\frac{1-a^{n}}{1-a}[/tex].
pour l'exercice en question, on prend [tex]a=e^{i \frac{\pi}{n}}[/tex]
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iyad
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Re : la limite d'une somme 23/07/2008 à 21h24
salut
une autre methode pour trouvela somme [tex]S_n =1+q+q^2+....+q^n[/tex]
on a [tex]S_n =1+q+q^2+....+q^n[/tex]
c ad [tex]qS_n =q+q^2+....+q^n+q^{n+1}[/tex]
c a d [tex]S_n-qS_n =1-q^{n+1}[/tex]
c a d
[tex](1-q)S_n =1-q^{n+1}[/tex]
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 Gable
Re : la limite d'une somme 10/06/2014 à 12h17
D'abord rectifier :calculer[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}[/tex]
Cet exercice est destiné à des élèves qui viennent a peine de décrocher leur bac (il est posté le 11juillet )
La réponse est très bien faite par chebychev:il n'ya qu' une seule condition qui est la continuité ...; même si elle n'est pas monotone sur [0;1]; on s'en fout!

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