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Admin
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Fonction continue + pĂ©riodique = bornĂ©e 10/07/2008 à 10h55
Bonjour,

Montrer qu’une fonction continue et pĂ©riodique dĂ©finie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] est bornĂ©e.

SaĂŻd
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Chebychev
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Re : Fonction continue + pĂ©riodique = bornĂ©e 10/07/2008 à 14h37
Salut,

est ce qu'on peut ecrire [tex]\large\mathbb{R}=\cup [x_{0}+kT, x_{0}+(k+1)T][/tex] avec [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex] et [tex]x_{0}\in\mathbb{R}[/tex]

et utiliser : [tex]\large f[/tex] est continue sur [tex][a,b][/tex] et [tex]\large [a,b]\subset\mathbb{R} \Rightarrow f([a,b])[/tex] est un segment de [tex]\large\mathbb{R}[/tex]?

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iyad
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Re : Fonction continue + pĂ©riodique = bornĂ©e 11/07/2008 à 00h49
salut Mr Chebychev
tu peux m'expliquer comment on utiliser le 3eme ligne


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Chebychev
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Re : Fonction continue + pĂ©riodique = bornĂ©e 11/07/2008 à 02h24
Salut iyad,
C'etait juste une supposition que j'esperait que l'un de nos profs examine,Helas!.donc je ne suis pas du tout sure de ce que j'ai supposĂ© (!!ÍÖí ÑÇÓß)
voici ce que je voulait faire:
(f est periodique et continue sur [tex]\mathbb{R})\Rightarrow f(\mathbb{R})=f([x_{0}+kT,x_{0} +(k+1)T])[/tex]
il est énoncé comme Th que l'image d'un segment par une fonction continue sur ce dernier est un segment, donc[tex] f(\mathbb{R})[/tex] est un segment,
il en decoule que f est bornée.
si tu as une supposition ou autre chose, n'hesite pas!
Merci Evariste pour les modifications dans mon message precedent
A+
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Admin
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Re : Fonction continue + pĂ©riodique = bornĂ©e 11/07/2008 à 09h41
Salut Chebychev,

Le plus simple est de raisonner en deux temps :

1/ Montrer que [tex]\large f[/tex] est bornĂ©e sur le segment [tex]\large [0\,,\,T][/tex] par un rĂ©el [tex]\large M[/tex]. OĂč [tex]\large T[/tex] dĂ©signe la pĂ©riode de [tex]\large f[/tex].

2/ Généraliser sur [tex]\large\mathbb{R}[/tex].

SaĂŻd
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Mohamed
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Re : Fonction continue + pĂ©riodique = bornĂ©e 11/07/2008 à 12h42

Bonjour
Chebychev : chaque fois que tu veux parler d'un ĂȘtre mathĂ©matique , tu es tenu
de le définir ...
Par exemple , tu as parlé de [tex][x_0+kT,x_0+(k+1)T][/tex] sans dire ce qu'est
[tex]x_0[/tex] et [tex]k[/tex] .

Je t'informe en outre qu'il est facil de voir que : [tex]f({\mathbb R}) = f([0,T])[/tex]
Pour ce faire on prends un élément [tex]x[/tex] de [tex]\mathbb R[/tex] et essaye de
montrer qu'il existe [tex]x' \in [0,T][/tex] tel que : [tex]f(x')=f(x)[/tex] .

indication : [tex]x'=x-TE\left(\frac{x}{T} \right)[/tex] convient peut ĂȘtre ... avec [tex]E(t)=[/tex] partie entiĂ©re de [tex]t[/tex] pour tout rĂ©el [tex]t[/tex] ....
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laklakh el houssine
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Re : Fonction continue + pĂ©riodique = bornĂ©e 11/07/2008 à 16h42
salut, oui , Mr mohamed, çà convient:
---si [tex]f[/tex] est périodique de période [tex]T[/tex], il est facile de démontrer que : [tex]\mathbb{R} = \ \cup_{k\in\mathbb{Z}}[kT,(k+1)T[[/tex]
---on montre que [tex]f(\mathbb{R})=f([0,T])[/tex]
***[tex]f(\mathbb{R}) \subset f([0,T])[/tex]:
soit [tex]x\in \mathbb{R}[/tex], alors :[tex](\exists k\in \mathbb{Z}) : kT \leq x < (k+1)T[/tex] donc [tex]0 \leq x-kT <T[/tex] on pose [tex]x'=x-kT[/tex] on a bien: [tex]f(x)=f(x')[/tex]
*** l'autre inclusion est Ă©vidente.
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