Bonjour,

L'objet de cet exercice est de trouver les fonctions [tex]\large f[/tex] de [tex]\large\mathbb{R}[/tex] dans [tex]\large\mathbb{R}[/tex] continues telles que pour tout [tex]\large (x\,,\,y)\in\mathbb{R}^{2}[/tex], [tex]\large f\(\frac{x+y}{2}\)=\frac{f(x)+f(y)}{2}[/tex].

1/ On suppose que [tex]\large f[/tex] vérifie la relation ci-dessus et que [tex]\large f(0)=f(1)=0[/tex].

Montrer que [tex]\large f[/tex] est périodique.

Montrer que pour tout réel [tex]\large x[/tex], on a [tex]\large 2f(x)=f(2x)[/tex] puis en déduire que [tex]\large f[/tex] est nulle.

2/ Déterminer toutes les fonctions [tex]\large f[/tex].

Saïd

Salut,
1)
on note (*) la relation [tex]f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x)+f(y)}{2}[/tex]
en remplaçant x par 2x et y par 1 dans (*) on obtient [tex]f(x+\frac{1}{2})=\frac{f(2x)}{2}[/tex](qu'on note (1))
en remplaçant x par 2x et y par 0 dans (*) on trouve: [tex]f(x)=\frac{f(2x)}{2}[/tex] (qu'on note (2))
d'apres (1) et (2) on a [tex]\Large \forall x\in\mathbb{R}) f(x+\frac{1}{2})=f(x)[/tex]
ainsi que [tex]\Large (\forall x\in\mathbb{R}) x+\frac{1}{2}\in\mathbb{R} et x-\frac{1}{2}\in\mathbb{R}[/tex].
il en decoule que f est periodique.
question: si on veut trouver La periode de f, que doit-on faire?.
A+

Bonsoir :

la periode si elle existe !!!

en effet : la periode ( la plus petite période n'xiste pas toujours ...)

exemple toute fonction constante est périodique mais elle ne posséde pas

'la' plus petite période ...


et tu vois Chebychev que si tu termine tout l'exercice tu aura [tex]f[/tex] idetiquement nulle et par conséquent elle n' a pas de plus petite période ...

Il est interressant de voir ce qui se passe si [tex] f(0) \neq f(1)[/tex] ...

Salut,
Pour La 2eme question on a [tex]f(2x)=2f(x)[/tex] por tout réel x(deja demontrer dans la 2emme ligne 5, on l'a noter (2)), il est question de prouver que f est nulle.
J'ai essayé de creer une suite: J'ai obtenu [tex]f(x)=2^nf(\frac{x}{2^n}) [/tex]pour tout entier naturel, afin de faire tendre n à [tex]+\infty[/tex],mais tiujours en vain...(on obtient une forme indéfinie).

Veuilez m'aider avec vos indications
Merci

salut, voici un exemple de fonction périodique dont l'ensemble de pérides n'a pas de plus petit élèment:


[tex]\large \left\{f(x)=0 ; x\in \mathbb{Q}\\f(x)=1 ; x\in \mathbb{R} -\mathbb{Q}\\right[/tex]

1) montrer que : [tex](\forall x \in \mathbb{R} ) (\forall n \in \mathbb{N}^{*}) : f(x+\frac{1}{n})=f(x)[/tex].
2) en conclure.

bonsoir;
--remarquer que pour tout [tex]x[/tex] réel on a :


[tex] f(x)=f(\frac{2x+0}{2})=\frac{f(2x)+f(0) }{2}[/tex]



--pour tout [tex] x [/tex] réel, on pose : [tex] g(x)= f(2x)[/tex] et on montre que [tex]g[/tex] vérifie:

[tex] ( \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}) : g(x+y)=g(x)+g(y) [/tex]

[tex] \large {Generalement} [/tex] : on a : pour tout (x,y) de R^2

[tex] \large f\(\frac{x+y}{2}\) = \frac{f(x)+f(y)}{2} [/tex]

donc pour tout x de R [tex] \large f\(\frac{x}{2}\) = \frac{f(x)+f(0)}{2} [/tex]

on pose [tex] \large g(x) = f(x)-f(0) \[/tex] alors pour tout x de R [tex] \large g\(\frac{x}{2}\) = \frac{g(x)}{2}\ [/tex]

alors pour tout (x;y) de R^2 [tex] \large \frac{g(x)+g(y)}{2} = g\(\frac{x+y}{2}\) = \frac{g(x+y)}{2} [/tex]

et on se trouve avec l'équation de Cauchy [tex] \large g(x+y) = g(x) + g(y) [/tex] dont on sait que les solutions sont les fonctions

linéaires et selon notre exemple ce sont les fonctions affines [tex] \large g(x) = ax [/tex] alors [tex] \large f(x) =ax + f(0) [/tex]

[tex]\large PS : [/tex] remarquez bien que la relation [tex] \large f\(\frac{x+y}{2}\) = \frac{f(x)+f(y)}{2} [/tex] nous montre que f n'est ni convexe ni concave

[tex] \large {Conan} [/tex]

bonjour :
la derniére phrase n'est pas correcte....
elle peut être remplacée par : [tex]f[/tex] est à la fois convexe et concave ! non ?

Bonjour

oui Mr Mohamed c'est exactement ce que je voulais dire !!