Logo-de-mathsland.com
ABB
En Ligne 
SUITE DIVERGENTE 13/07/2008 à 20h20
BONSOIR

Je propose l'exercice suivant:

soit [tex](x_{n})[/tex] une suite numérique à termes strictement positifs
On considère la suite [tex](u_{n}) [/tex]définie par:

[tex]\Large (\forall n\in \mathbb{N})(u_{n}=(\Large \sum_{p=0}^{p=n}{x_{p}})(\Large \sum_{p=0}^{p=n}{\frac{1}{x_{p}}}))[/tex]

Montrer que :[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty[/tex]
Code LaTEX 
Espace
iyad
En Ligne 
Re : SUITE DEVERGENTE 14/07/2008 à 00h06
salut
on a d'apres l'inegalite Cauchy schwarz[tex]\forall[/tex][tex]n\in\mathbb{N}[/tex][tex]\forall[/tex] [tex]a_{1}.....a_{n} b_{1}........b_{n}\epsilon\mathbb{R*+}[/tex] [tex](\Large \sum_{p=0}^{p=n}{a_{p}b_{p}})^{2}\leq (\Large \sum_{p=0}^{p=n}{a_{p}^2})(\Large \sum_{p=0}^{p=n}{b_{p}^{2}})[/tex]
pour [tex]x_{p}=\sqrt{a_{p}}=\frac{1}{\sqrt{b_{p}}}[/tex]
on obtient que [tex](\Large \sum_{p=0}^{p=n}{1})^{2}\leq (\Large \sum_{p=0}^{p=n}{x_{p}})(\Large \sum_{p=0}^{p=n}{\frac{1}{x_{p}}})[/tex]
d'ou [tex]n^{2}\leq (\Large \sum_{p=0}^{p=n}{x_{p}})(\Large \sum_{p=0}^{p=n}{\frac{1}{x_{p}}})[/tex]
or [tex]\lim_{x\rightarrow +\infty}n^{2}=+\infty[/tex]
alors la suite diverge
j'ai commit des petites fautes avous de les trouvées
bye
Code LaTEX 
Espace
Chebychev
Hors Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 14/07/2008 à 02h21
ÇáÓáÇã Úáíßã

Je propose cette methode.
J'utiliserai la proprieté suivante:toute suite croissante est non majorée tend vers [tex]+\infty [/tex]
soit [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]
on a [tex]u_{n+1}=(\Large \sum_{p=0}^{p=n}{x_{p}}+x_{n+1})(\Large \sum_{p=0}^{p=n}{\frac{1}{x_{p}}}+\frac{1}{x_{n+1}})=u_{n}+\frac{1}{x_{n+1}}\Large \sum_{p=0}^{p=n}{x_{p}}+x_{n+1}\Large \sum_{p=0}^{p=n}{\frac{1}{x_{p}}}+1[/tex]
posons[tex] t_{n}=\frac{1}{x_{n+1}}\Large \sum_{p=0}^{p=n}{x_{p}}+x_{n+1}\Large \sum_{p=0}^{p=n}{\frac{1}{x_{p}}}[/tex] avec[tex] \forall n\in\mathbb{N} t_{n}>0[/tex]
donc[tex] u_{n+1}=u_{n}+t_{n}+1[/tex] pour tout entier n de[tex] \mathbb{N}[/tex].

il en decoule que[tex] (u_{n}) [/tex]est strictement croissante.
Supposant que [tex](u_{n})[/tex] est majorée.alors elle est convergente, on note [tex]\large\ell [/tex]sa limite
Premier cas: [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}t_{n}=l'\in\mathbb{R}[/tex]([tex]l'\geq0[/tex])
on [tex] u_{n+1}=u_{n}+t_{n}+1[/tex]
donc[tex] \large\ell=\large\ell+l'+1[/tex] d'ou [tex]1+l'=0[/tex] ce qui est imposible puisque [tex]l'\geq0[/tex].
2eme cas: [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}t_{n}=+\infty[/tex]
on a [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}+t_{n}+1=+\infty[/tex] et[tex] \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n+1}=\large\ell[/tex]. ce qui impossible vu que [tex]u_{n+1}=u_{n}+t_{n}+1[/tex]
3eme cas: [tex](t_{n})[/tex] n'admet pas de limite. alors elle prendra des valeus strictement positif (qu'on note [tex]\red \bf a[/tex]) par ailleurs on a[tex]\red \bf \large\ell =\large\ell+a+1[/tex]ce qui est aussi impossible.
on deduit alors que [tex]\red \bf (u_{n})[/tex] n'est pas majorée.
finalement on a [tex]\red \bf \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty[/tex]

A+
Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 14/07/2008 à 11h56

Bonjour :
[tex]\bullet[/tex] Pour la question ci-dessus ; il est trés aisé de prouvé par récurrence que :[tex]\forall n \in {\mathbb N}^* \quad u_n \geq n [/tex]

[tex]\bullet[/tex] On peut généraliser cette question comme suit :

Prouver que si [tex](a_n)[/tex] et [tex](b_n)[/tex] sont deux suites réelles à termes
strictement positifs tel que : [tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\sum_{k=1}^{n} a_k b_k \right) = +\infty [/tex] alors on a : [tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( \left(\sum_{k=1}^{n} a_k \right) \left( \sum_{k=1}^{n} b_k \right) \right) = +\infty [/tex]

[tex]\bullet[/tex] Exemple :

Pour tout entier naturel non nul [tex] n [/tex] on pose : [tex]S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}[/tex]
Prouver que :
[tex]\LARGE \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \right) \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{S_k} \right)\right) = +\infty[/tex]



[tex]\bullet[/tex] Bienentendu : il est possible de repondre autrement à cette question si on démontre que les deux suites constituant les factuers de la suite ci-dessus tendent vers [tex]+\infty[/tex] lorsque [tex]n[/tex] tends vers [tex]+\infty[/tex] : chose qui est plus coùteuse que de le faire en appliquant le résultat général ci-dessu ....
Code LaTEX 
Espace
Chebychev
Hors Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 14/07/2008 à 12h33
Salut Mr Mohamed,
ma methode est-elle juste?
A+
Espace
laklakh el houssine
Hors Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 14/07/2008 à 14h15
bonjour,
hélas, ta méthode n'est pas juste à partir de la ligne [tex]10[/tex], en effet :

si [tex](u_{n})_{n \geq 1}[/tex] est majorée, elle serait convergente ; soit [tex]L[/tex] sa limite .

[tex]u_{n+1}=u_{n}+t_{n}+1[/tex], alors [tex](t_{n})_{n\geq 1}[/tex] serait convergente et sa limite est : [tex]L'=-1[/tex] ce qui est impossible .
Code LaTEX 
Espace
Chebychev
Hors Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 14/07/2008 à 14h32
Merci,
Monsieur Lhoussine j'ai dénombré tous les cas possible pour la limite de [tex]t_{n}[/tex], est il une faute?!
A+
Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 14/07/2008 à 15h36


Bonjour

Avant la partie écrite en rouge à la fin de ta démonstration , je ne vois pas d'erreur .

Cependant , tu as commis une erreur ...dans la partie en rouge ...

Regarde ça :

qui prends des valeurs qu'on note [tex]\bf a[/tex] !!!

C'est calair que ça ne tient pas !!!

une seule notation pour des valeurs distinctes !!!

Une autre erreure est lorsque tu as Ă©crit : [tex]\ell = \ell + a + 1 [/tex]

Ce qui veut dire : [tex] \ell = \ell + t_n +1 [/tex]

Comment tu as eu ça ?

================

Il fallait en fait terminer comme ça (par exemple) :

Si [tex](t_n)[/tex] diverge , on a [tex]t_n = u_{n+1} - u_n-1[/tex]

et comme la suite [tex](u_n)[/tex] est convergente il en est de mĂŞme de la suite [tex](u_{n+1} - u_n) [/tex] ( elle tends vers [tex]0[/tex] ) .

Il est impossible d'avoir l'égalité d'une suite convergente et une suite divergente ...



========
Oui ce que tu as fait est juste Ă  part la partie en rouge

Cependant la discussion des cas etait un surplus inutil !!!

il suffisait de faire :

[tex]t_n = u_{n+1} - u_n - 1[/tex] donc , forcément , la suite [tex](t_n)[/tex] converge aussi

et alors sa limite vaut [tex]-1[/tex] . Ce qui est en contradiction avec le fait que la suite [tex](t_n)[/tex]

est Ă  termes positifs ....


==============================

Tu aurait pu simplifier les choses plus car tu a prouvé que :

[tex]\large (1) \quad \forall k \in {\mathbb N}^* \quad u_{k+1}-u_k \geq 1[/tex]

Essaye de sommer pour [tex]k[/tex] allant de [tex]1[/tex] Ă  [tex]n-1[/tex] .([tex]n \geq 2[/tex] )

Tu verra que [tex]u_n \geq n [/tex] pour tout [tex] n \geq 2 [/tex] et par suite

[tex](u_n)[/tex] tends vers [tex]+ \infty [/tex] ....

Code LaTEX 
Espace
laklakh el houssine
Hors Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 14/07/2008 à 15h56
salut, attention si [tex](u_{n})_{n \geq 1})[/tex] est convergente , alors forcément la suite [tex](t_{n})_{n \geq 1})[/tex] serait convergente en vertu de la relation liant [tex]u_{n}[/tex] et [tex]t_{n}[/tex] , il sera alors unitile d'envisager les deux cas à savoir :
***[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}t_{n} = + \infty [/tex] puis ***la suite [tex](t_{n})_{n \geq 1})[/tex] n'admet pas de limite.
Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 14/07/2008 à 16h00


Bonjour :

Oui Lhoussaine

mais s'il discute les cas le raisonnement n'est pas faux mais surchargée d'inutilités ...

il y a une différence entre les deux choses ....

Pour un débutant ce n'est pas grave s'il discute les cas à condition qu'il ne commette

pas d'erreur logique ...comme c'est le cas dans la partie en rouge en haut ....

Espace
laklakh el houssine
Hors Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 14/07/2008 à 16h12
salut,
oui mr mohamed: au moment où il n'arrive pas à avoir des renseignements entrainés par l'hypothèse qu'a faite sur la suite de dépard , il aura le droit de discuter les cas mais je dis que c'est inutile donc sera-t-il toujours utile d'éviter ce genre de méthodes , quoique logiquement, elle reste correcte .
je précise donc le terme de ""ta méthode n'est pas juste par le fait qu'elle comporte des inutilités.""
Espace
Chebychev
Hors Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 14/07/2008 à 16h47
Merci Mr mohamed et Mr lhoussine pour vos remarques.
Je reformule ma réponse:
J'utiliserai la proprieté suivante:toute suite croissante est non majorée tend vers [tex]+\infty [/tex]
soit [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]
on a [tex]u_{n+1}=(\Large \sum_{p=0}^{p=n}{x_{p}}+x_{n+1})(\Large \sum_{p=0}^{p=n}{\frac{1}{x_{p}}}+\frac{1}{x_{n+1}})=u_{n}+\frac{1}{x_{n+1}}\Large \sum_{p=0}^{p=n}{x_{p}}+x_{n+1}\Large \sum_{p=0}^{p=n}{\frac{1}{x_{p}}}+1[/tex]
posons[tex] t_{n}=\frac{1}{x_{n+1}}\Large \sum_{p=0}^{p=n}{x_{p}}+x_{n+1}\Large \sum_{p=0}^{p=n}{\frac{1}{x_{p}}}[/tex] avec[tex] \forall n\in\mathbb{N} t_{n}>0[/tex]
donc[tex] u_{n+1}=u_{n}+t_{n}+1[/tex] pour tout entier n de[tex] \mathbb{N}[/tex].

il en decoule que[tex] (u_{n}) [/tex]est strictement croissante.
Supposant que [tex](u_{n})[/tex] est majorée.alors elle est convergente, on note [tex]\large\ell [/tex]sa limite
on a [tex] u_{n+1}-u_{n}-1=t_{n}[/tex]
alors [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}t_{n}=-1[/tex] ce qui est impossible car[tex] \Large \forall n \geq 2 \quad t_{n}>0[/tex] et [tex]-1<0[/tex].
il en decoule que [tex](u_{n})[/tex] n'est majorée. finalement [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty[/tex].
pour l'autre démarche, si je substitue [tex]a[/tex] par[tex] t_{n}[/tex], mon raisonement sera juste.
Qu'est ce que L'inegalité de C.S veut dire?
merci


Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 14/07/2008 à 16h54

bonjour

non !!! si dans la partie en rouge de ton raisonnemnt en haut tu substitue

[tex]t_n[/tex] Ă  [tex]a[/tex] le raisonnement comprendra toujours une erreur grave !!!!


Je précise :


Ce qui suit est toujours faux et précsisément la partie en gras !!!

3eme cas: [tex](t_{n})[/tex] n'admet pas de limite. alors elle prendra des valeus strictement positives . On a[tex]\bf \large\ell =\large\ell+t_n +1[/tex] ce qui est aussi impossible.
on deduit alors que [tex] \bf (u_{n})[/tex] n'est pas majorée.
finalement on a [tex] \bf \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty[/tex]

sinon je te demande de justifier comment tu as eu : [tex]\bf \large\ell =\large\ell+t_n +1[/tex]


Code LaTEX 
Espace
Chebychev
Hors Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 14/07/2008 à 17h29
Bonjour,
on a [tex] u_{n+1}=u_{n}+t_{n}+1[/tex] pour tout entier n [tex]\geq2[/tex].
pour le 3eme cas:(
on a [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=\large\ell=\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n+1}[/tex].

puisque que [tex](t_{n})[/tex] diverge(n'admet pas de limite) elle prendra donc des valeurs strictement positif
j'ai choisit de les nommé [tex]a[/tex], puisque Mr Lhoussaine a refusé le fait d'unifier la nomination de plusieurs valeurs distincs ,(Je comprends maintenant qu'il faut pas utilisé la nomination[tex] t_{n}[/tex]car [tex]n[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex]).
Quoi faire dans le 3eme cas?
A+
Code LaTEX 
Espace
laklakh el houssine
Hors Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 14/07/2008 à 21h25
salut,
comment expliques-tu qu'une suite n'admettant pas de limite prend des valeurs strictement positifs : considérer l'exemple connu , c'est celui de la suite alternée [tex]((-1)^{n})[/tex], l'ensemble de ses valeurs est la paire [tex]\{-1;1}[/tex].
Code LaTEX 
Espace
Chebychev
Hors Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 14/07/2008 à 22h32
Salut,
Je pense vous avez changé le contexte et les circanstances de la phrase "elle prendra donc des valeurs strictement positif", cette phrase se basent sur le fait que les terme de cette suite sont strictement positifs. or le contre exemple donné ne vérifie pas ça.
Merci.
Espace
laklakh el houssine
Hors Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 15/07/2008 à 00h35

bonsoir,

je suis conscient de ma remarque ; voilà ce que tu as écris : la suite [tex](u_{n})_{n\geq 1}[/tex] n'a pas de limite alors elle prendra des valeurs strictement positifs. le terme ""alors"" désigne qu'il ya un lien entre les deux propositions. y'en a -t-il ainsi? le contre exemple a ainsi un sens !
Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 15/07/2008 à 00h38

Bonsoir :

Tu n as pas bien répondu à ma question Chebychev



je la reformule :


comment tu as passé de :



[tex]\LARGE u_{n+1} = u_{n} + t_n + 1 [/tex]


Ă  :



[tex]\LARGE \ell = \ell + t_n + 1 [/tex]



C'est tout ce que je demande et je veux une réponse claire !!



===============


tu as dit que lhoussaine a refusé de nommer [tex]a[/tex] les termes de la suite

toi , tu ne refuse pas ça ??

(c'est moi qui a parlé de ça d'ailleurs ...)

si tu nomme [tex]a[/tex] tous les termes alors ils sont Ă©gaux

si tu pose , pour fixer les idées , [tex]t_n=a[/tex] pour un certain [tex]n[/tex] alors

tu as , pour ce [tex]n[/tex] : [tex]\LARGE u_{n+1} = u_{n} + a + 1 [/tex]

je dis bein pour ce n !!!


mais tu viens aprés et tu fait tendre [tex]n[/tex] vers [tex]+\infty[/tex] et tu ne touche pas à

[tex]a[/tex] alors qu'il dépends de [tex]n[/tex] ......





Code LaTEX 
Espace
iyad
En Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 15/07/2008 à 01h15
bonsoir
pour montrer la 1er implication qui nous a demandé Mr med dans la 3eme réponse
j'ai montré que [tex](\Large \sum_{k=1}^{k=n}{a_{k}})(\Large \sum_{k=1}^{k=n}{b_{k}})=(\Large \sum_{k=1}^{k=n}{a_{k}}b_{k}})+(\Large \sum_{k=1}^{k=n}{b_{k}}(\Large \sum_{p=k+1}^{p=n}{a_{p}}) +(\Large \sum_{k=2}^{k=n-1}{a_{k}}(\Large \sum_{p=k+1}^{p=n}{b_{p}}[/tex]
je veux savoir svp si ce dévllepment est juste si c'est le cas on peut montrer l'imlication par contre a posé
(Na+,Cl-)
Code LaTEX 
Espace
Chebychev
Hors Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 15/07/2008 à 01h49
Salut,
Je donne ma langue au chat!
que dois-je faire pour le 3eme cas??
A+
Espace
ABB
En Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 15/07/2008 à 11h14
Bonsoir

Mr Chebychev, tu n'a pas besion d'étudier le troisième cas, ni le deuxième cas
Car si tu suppose que la suite [tex](u_{n})[/tex] est convergente alors la suite [tex](t_{n})[/tex] est aussi convergente.
Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : SUITE DIVERGENTE 16/07/2008 à 00h43

Bonsoir :

RĂ©ponse Ă  iyad

Tu as écrit une transformation juste . Elle se présente aussi sous la forme :

[tex]\large \displaystyle \left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right)\left( \sum_{k=1}^{n} b_k \right) = \left( \sum_{k=1}^{n} a_k b_k \right) + \left( \sum_{1 \leq i < j \leq n } a_i b_j \right) + \left( \sum_{1 \leq j < i \leq n} a_i b_ j \right) = \left( \sum_{k=1}^{n} a_k b_k \right) + 2 \left( \sum_{1 \leq i < j \leq n } a_i b_j \right) [/tex]


et comme tu l'as dit , cette transformation (que ce soit sous la forme que tu as suggéré ou les autres formes ) permet de voir que :


[tex]\large \displaystyle (1) \qquad \left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right)\left( \sum_{k=1}^{n} b_k \right) \geq \sum_{k=1}^{n} a_k b_k [/tex]



Par conséque si le terme de droite tends vers [tex]+\infty[/tex] , celui de gauche à fortiori .

C'est bien et je t'invite à découvrir davantage pour ce qui concerne les structures des transformations algébriques ....


Il est cependant bien de voir que l'on n'a pas besoin de cette transformation pour prouver
l'inégalité [tex](1)[/tex] ci-dessus :
En effet , il est facil de la démontrer par récurrence sur [tex]n[/tex] : essaye ...
Code LaTEX 
Espace
Sujet verrouilé par Vous êtes sur l'ancien Forum. Celui-ci est fermé. Cliquer ici pour accéder au nouveau Forum