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lvovitch
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inégalité de la moyenne 25/07/2008 à 18h10
salut,
montrer que;

[tex]\large |\Large \int_{a}^{b}fg| \leq sup\large |f|\Large \int_{a}^{b}\large |g|[/tex]
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laklakh el houssine
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Re : inégalité de la moyenne 25/07/2008 à 22h29
bonsoir, il faut préciser les conditions remplies par [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex].
voici certaines étapes:
1) si [tex]h[/tex] est continue sur [tex][a,b][/tex], alors [tex]|\Large \int_{a}^{b}h(x)dx|\leq \Large \int_{a}^{b}|h(x)|dx[/tex].
2)si [tex]h_{1} \leq h_{2} [/tex] sur [tex][a,b][/tex], alors [tex]\Large \int_{a}^{b}h_{1}(x)dx \leq \Large \int_{a}^{b}h_{2}(x)dx [/tex].
3) [tex]\Large \int_{a}^{b}\alpha h(x)dx =\alpha \Large \int_{a}^{b}h(x)dx [/tex]
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iyad
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Re : inégalité de la moyenne 26/07/2008 à 12h57
on a [tex]|f| \leq supf[/tex]
c a d [tex]|f||g| \leq supf|g|[/tex]
c a d [tex]\Large \int_{a}^{b}|f||g| \leq \Large \int_{a}^{b}supf|g|[/tex]
c a d [tex]\Large \int_{a}^{b}|f||g| \leq supf\Large \int_{a}^{b}|g|[/tex]
or on a [tex]|\Large \int_{a}^{b}fg| \leq \Large \int_{a}^{b}|fg|[/tex]
donc [tex]|\Large \int_{a}^{b}fg| \leq supf\Large \int_{a}^{b}|g|[/tex]
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Chebychev
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Re : inégalité de la moyenne 26/07/2008 à 16h38
Salut iyad,
il faut faire attention à ce que sup f n'est pas toujours positif!
donc,en cas general, l'inegalité [tex]|f|\leq sup f [/tex]est fausse(il sufit de prendre une fonction negatif).
remarque: Je pense qu'on ne peut parler du sup(f) que si l'on ajoute la continuité de f,n'est ce pas?
A+
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Mohamed
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Re : inégalité de la moyenne 26/07/2008 à 23h49

Bonsoir :

Chebychev a raison

j'ajoute que même : [tex]|f| \leq \text{sup}|f|[/tex] est risquée si [tex]f[/tex] n'est pas bornée .

Ce probléme ne se pose pas si [tex]f[/tex] est cintinue sur un segment [tex]I=[a,b][/tex] et
si ce sup est pris sur ce segment ....

l'inégalité mentionnée par ivovitch necesite des précisions sur l'intervalle et sur la nature
des fonctions [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] mais aussi sur le genre d'integrale dont il est question ....
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laklakh el houssine
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Re : inégalité de la moyenne 27/07/2008 à 13h39
bonjour,


je crois que la question posée entre dans le cadre de l'intégration des fonctions continues par morceaux sur un segment donc l'énoncé porra être ajusté comme suit :

soient [tex]f[/tex]et [tex]g[/tex] deux fonctions continues par morceaux sur le segment [tex][a,b][/tex]. on pose [tex]||f||_{\infty}=\sup _{x \in [a,b]}|f(x)|[/tex].
montrer que : [tex]|\Large \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx| \leq ||f||_{\infty}\Large \int_{a}^{b}|g(x)|dx[/tex].
---la solution de l'exercice devient donc immédiate si [tex]f[/tex]et [tex]g[/tex] sont continues sur [tex][a,b][/tex]
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