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Taylor-Lagrange 06/08/2008 à 21h45
Bonsoir,

Soit [tex]\large f\;:\;[a\,,\,b]\,\to\,\mathbb{R}[/tex], une fonction [tex]\large n[/tex] fois dérivable sur [tex]\large [a\,,\,b][/tex].

Montrer qu'il existe un réel [tex]\large c\in [a\,,\,b][/tex] tel que :


[tex]\large f(b)=f(a)+(b-a)f^{'}(a)+\frac{(b-a)^2}{2}f^{''}(a)+\, ... \,+\frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)+\frac{(b-a)^{(n)}}{n!}f^{n}(c)[/tex]


Où [tex]\large f^{(k)}[/tex] désigne la dérivée de [tex]\large f[/tex] d'ordre [tex]\large k[/tex]

Saïd
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Conan
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Re : Taylor-Lagrange 07/08/2008 à 02h53
bonsoir

[tex] \large c\in]a\,,\,b[ [/tex] car pour [tex] n=1 [/tex] c'est le Théorème des accroissement finis

on considére la fonction [tex] \large h \;:\[a\,,\,b], \to\,\mathbb{R} [/tex] , [tex] \Large h(x) = f(b) - f(x) - \Large \sum_{k=1}^{n} \large \frac{(b-x)^k}{k!} f^k(x) - \frac{(b-x)^n}{n!} M [/tex] avec [tex] M [/tex] un réel .


h est dérivable sur [a;b] et on a pour tout [tex] x [/tex] de [tex][a;b] [/tex]

[tex] \huge h'(x) = \huge \frac{(b-x)^{n-1}}{{(n-1)}!} (M - f^n(x)) [/tex] et h vérefie les conditions de [tex] \huge Roll [/tex] alors il existe [tex] \large c\in]a\,,\,b[ [/tex] : [tex] \huge h'(c) = 0[/tex]

donc il existe [tex] \HUGE c\in]a\,,\,b[ [/tex] : [tex] \huge M = f^n(c) [/tex]
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Chebychev
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Re : Taylor-Lagrange 16/08/2008 à 20h15
Salut conan,
Pouvez vous mieux expliquer et verifier votre demarche?
A+
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bh
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Re : Taylor-Lagrange 01/03/2009 à 19h00
salut :
ind : utiliser la formule de taylor-lagrange et puis la 1er formul de la moyenne.
BON COUREGE
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