salut
montrer que :

[tex]\displaystyle (\forall n\in{\mathbb{N}} )\; ( \forall (a_{1},...,a_{n}, b_{1},...,b_{n}) \in {\mathbb{R}}^{2n} ) \quad \quad \left( \sum_{p=0}^{n}{a_{p}b_{p}}\right)^{2} \leq \left( \sum_{p=0}^{n}{a_{p}^2}\right) \left( \sum_{p=0}^{n}{b_{p}^{2}}\right)[/tex]

bonsoir :

essaye de developper le polynôme :

[tex]P(t) = \displaystyle \sum_{k=1}^n (t a_k + b_k)^2[/tex]

dans le cas non trivial ce polynôme est un trinôme qui garde un signe

constant sur [tex]\mathbb R[/tex] .


à toi de finir .



Bienentendu je veux dire par le cas non trivial le cas où l'un au moins des [tex]a_k[/tex]
est non nul ....

salut,

le delta du polynome de 2nd degre en t doit etre <=0.

on peut egalement faire une demonstration par une recurrence sur n mais c'est moins astucieux :)

merci

bonjour :

Tout à fait , tikibiki
on peut aussi introduire des vecteurs en travaillant dans un espace
vectoriel euclidien de dimension [tex]n[/tex] ...

précisément si : [tex]\vec{U}=\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \vec{e_k}[/tex] et [tex]\vec{V}=\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k \vec{e_k}[/tex]
où [tex](e_1,...,e_n)[/tex] est une base orthonormée , on a pour tout réel [tex]t[/tex]

[tex]P(t) =||t \vec{U} + \vec{V}||^2 \geq 0[/tex]

ce qui devient :


[tex]||\vec{U}||^2 t^2 + 2 \vec{U}.\vec{V} t + ||\vec{V}||^2 \geq 0[/tex]

si [tex]\vec{U} \neq \vec{0}[/tex]

il s'agit d'un trinôme de discriminent réduit : [tex]\Delta ' =(\vec{U} . \vec{V})^2 - ||\vec{U}||^2||\vec{V}||^2 [/tex]

Ce discriminent est negatif ou nul car le trinôme garde un même signe sur [tex]\mathbb R [/tex].

Ce qui donne l'inégalité de Cauchy-Schwarz

[tex] \huge \text{Methode} [/tex] [tex] \huge 1 [/tex]




Lemme : La somme des minimums de n fonctions est inférieur ou égal au minimum de la somme de ces fonctions.

soit :[tex]\large min ( f(x_1) + f(x_2) +....+ f(x_n) ) \geq min f(x_1) + minf(x_2) + ... + min f(x_n) [/tex]

soit a_i et b_i de R*+ et x > 0 , on pose [tex] \large f_i(x) = a_ix^2 + 2b_ix [/tex] évidemment son minimum est [tex] \large \displaystyle \frac{-b_i^2}{a_i} [/tex] avec [tex] 1 \leq i \leq n [/tex]

on a : [tex] f_{\Sigma}\left(x\right) = \left(a_1 + a_2 + ... + a_n\right) x^2 + 2 \left(b_1 + b_2 + ... + b_n\right) x [/tex] qui a pour minimum [tex] \displaystyle - \frac{\left( b_1 + b_2 + ... + b_n\right)^2}{a_1 + a_2 + ... + a_n} [/tex]

et selon le Lemme on aura : [tex] {\Sigma}{minf_i(x)} \leq min f_{\Sigma}\left(x\right) [/tex] donc [tex]\large \frac{-b_1^2}{a_1} \frac{-b_2^2}{a_2} - ... \frac{-b_n^2}{a_n} \leq -\frac{\left( b_1 + b_2 + ... + b_n\right)^2}{a_1 + a_2 + ... + a_n} [/tex]

Ainsi : [tex] \large \frac{b_1^2}{a_1} + \frac{b_2^2}{a_2} + ... + \frac{b_n^2}{a_n} \geq \frac{\left( b_1 + b_2 + ... + b_n\right)^2}{a_1 + a_2 + ... + a_n} [/tex] d'oû (avec un petit changement de variable) l'inégalité de Cauchy-Shwartz



[tex] \huge \text{Methode} [/tex] [tex] \huge 2 [/tex]



Soit : a>0 et b>0 : pour tout t >0 : [tex] \large a^2t^2 + b^2t^{-2} \geq 2ab [/tex] [tex] \Leftrightarrow[/tex] [tex] \large (at-\frac{b}{t})^2 \geq 0 [/tex] . Il existe donc [tex] t=\sqrt(\frac{b}{a}) [/tex] auquel [tex] a^2t^2 + b^2t^{-2}[/tex] atteint son minimum [tex]2ab [/tex]
on pose [tex] \Large A^2 = \Sigma (x_i^2) [/tex] et [tex] \Large B^2 = \Sigma (y_i)^2 [/tex]

pour le t approprié on a : [tex] \large 2AB = A^2t^2 + \frac{B^2}{t^2} [/tex] = [tex] \large \Sigma(t^2x_i^2 + \frac{y_i^2}{t^2}) [/tex] [tex] \geq [/tex] [tex] \large \Sigma 2x_iy_i [/tex]

Alors : [tex] A^2B^2 [/tex] [tex]\geq[/tex] [tex] ( \Sigma x_iy_i )^2 [/tex] d'ôû le résultat.



[tex] \huge \text{Methode} [/tex] [tex] \huge 3 [/tex]




on a :[tex] (\Large \sum_{i=1}^{n}{a_i^2}) [/tex] [tex] (\Large \sum_{i=1}^{n}{b_i^2}) [/tex] [tex] - [/tex] [tex] (\Large \sum_{i=1}^{n}{a_ib_i})^2 [/tex] [tex] = [/tex] [tex] (\Large \sum_{i=1}^{n}{a_i^2bi^2}) [/tex] [tex] + [/tex] [tex] (\Large \sum_{i<>j}^{n}{a_i^2b_j^2}) [/tex] [tex] - [/tex] [tex] (\Large \sum_{i=1}^{n}{a_i^2b_i^2}) [/tex] [tex] - [/tex] [tex]\large{2} (\Large \sum_{1 \leq i\leq j\leq n}^{n}{a_ia_jb_ib_j}) [/tex]

[tex] = [/tex] [tex] (\Large \sum_{1 \leq i\leq j\leq n}^{n}{ai^2bj^2 + aj^bi^2 -2aiajbibj}) [/tex] [tex]=[/tex] [tex] (\Large \sum_{1 \leq i\leq j\leq n}^{n}{aibj - ajbi })^2 \geq 0 [/tex]


[tex] \HUGE \text{Conan} [/tex]

Cet énoncé :[tex]\displaystyle (\forall n\in{\mathbb{N}} )\; ( \forall (a_{1},...,a_{n}, b_{1},...,b_{n}) \in {\mathbb{R}}^{2n} ) \quad \quad \left( \sum_{p=0}^{n}{a_{p}b_{p}}\right)^{2} \leq \left( \sum_{p=0}^{n}{a_{p}^2}\right) \left( \sum_{p=0}^{n}{b_{p}^{2}}\right)[/tex]
Est incorrect ;

Il faut écrire :

[tex]\displaystyle (\forall n\in{\mathbb{N^{*}}} )\; ( \forall (a_{1},...,a_{n}, b_{1},...,b_{n}) \in {\mathbb{R}}^{2n} ) \quad \quad \left( \sum_{p=1}^{n}{a_{p}b_{p}}\right)^{2} \leq \left( \sum_{p=1}^{n}{a_{p}^2}\right) \left( \sum_{p=1}^{n}{b_{p}^{2}}\right)[/tex]