Salut,
Chers profs(Mohamed-ABB-Laklakh Lhoussine...), Veuillez donner au nouveau forum à savoir "En route vers le prepa" un part de votre attention et merci.
ÌÒÇßã Çááå ÊÚÇáì ÎíÑÇ

"Si les aisés comptent sur leurs monnaie pour faire des stage d'été, nous compterons,aprés Allah, sur les bonne personnes qui nous transmetteront la noblesse des siences"

bonsoir,
exercice1:
montrer que : [tex](\forall n\in\mathbb{N}^{*}) : (1+\frac{1}{n})^{n}<3 [/tex].
exercice2 :
soient [tex]n\in \mathbb{N}^{*}[/tex] et [tex]x_{1};x_{2};...;x_{n}[/tex] des élèments de [tex][0,1][/tex].
établir que l'un au moins des deux produits [tex]\Large \prod_{i=1}^{n}{x_{i}}[/tex] et [tex]\Large \prod_{=1}^{n}{(1-x_{i})}[/tex] est inférieur ou égal à [tex]2^{-n}[/tex].

ÇáÓáÇã Úáíßã
EXO1:
d'abord on montre que [tex]\forall x\in\mathbb{R}_+^{\large\ast} x>ln(1+x)[/tex]
en remplacant x par 1/n dans l'inégalité precedante en trouve que [tex]\forall n\in\mathbb{N*} 1/n>ln(1+1/n)[/tex]
on a ln(3)>1, par consequent [tex]\frac{ln(3)}{n}>ln(1+\frac{1}{n})[/tex]
d'ou [tex]ln(3)>ln((1+\frac{1}{n})^n)[/tex]
il en découle que [tex]3>(1+\frac{1}{n})^n[/tex]
A+

exo 1
montrons tt d'abort que[tex] ln(x+1)-ln(x)<\frac{1}{x}[/tex] pour tt [tex]x>0[/tex] (on peut utilisé TAF)
on a pour tt [tex]x>0[/tex]: [tex] ln(x+1)-ln(x)<\frac{1}{x}[/tex]
c a d [tex]ln\frac{x+1}{x}<\frac{1}{x}[/tex]
donc [tex]ln(1+\frac{1}{x}<\frac{1}{x}[/tex]
c a d [tex]1+\frac{1}{x}<e^{\frac{1}{x}}[/tex]
d'ou [tex](1+\frac{1}{x})^{x}<e<3[/tex]
donc [tex]\forall[/tex][tex]n\in\mathbb{N*}[/tex] on a [tex](1+\frac{1}{n})^{n}<e<3[/tex]

Salut iyad,
est-il possible de justifier ton passage de la ligne6 à la ligne 7?
toute intervention sera la bienvenue
A+

salut MR Chebychev
ona [tex]1+\frac{1}{x}<e^{\frac{1}{x}}[/tex]
en eleve a la puissance [tex]x[/tex] les 2 cotes de l'inigalité
d'ou [tex](1+\frac{1}{x})^{x}<e[/tex]
or [tex]e<3[/tex]
d'ou la linge 7
bye

ÇáÓáÇã Úáíßã
lorsqu'on eleve à une puissance, en se base sur la monotonie d'une fonction,ie: pour lever a la puissance[tex] n\in\mathbb{N}[/tex](sans voir si n est pair ou non) on utilise la fontion definie sur [tex]\mathbb{R}_+[/tex] par[tex] f(x)=x^n [/tex].
Let's be practical, donne-moi la fonction utilisée.
A+

salut MR Chebychev
j'ai pas compris se que tu veux dire mais en a [tex]1<1+\frac{1}{x}<e^{\frac{1}{x}} [/tex]
donc en peut eleve a la puissance x
explique moi svp ce que tu vx dire
bye Cl-

bonsoir,
il ya un passage inaperçu de la part de Mr iyad; voilà ce qu'il faut écrire:
[tex](\forall x>0) : ln(1+\frac{1}{x}) < \frac{1}{x} \Rightarrow xln(1+\frac{1}{x}) < 1 \Rightarrow e^{xln(1+\frac{1}{x})}< e \Rightarrow (1+\frac{1}{x})^{x} < e[/tex].
---on pourra répondre à la question sans utiliser la fonction logarithme néperienne.penser à la formule du binôme .

salut,

personne n'a pensé à la récurence?

ÇáÓáÇã Úáíßã
j'essaierai de demontrer la 1ere question en utilisant la formule du binome.
on montre que [tex]\forall n\geq 2 [/tex] [tex] n^2\geq 2^n[/tex].
soit [tex]n\geq2[/tex]
selon la BN on a [tex](1+\frac{1}{n})^n=\Large \sum_{p=0}^{p=n}{C_{n}^{p}(\frac{1}{n})^p}=2+\frac{1}{n^2}\Large \sum_{p=2}^{p=n}{C_{n}^{p}(\frac{1}{n})^{p-2}}[/tex]

on a [tex]C_{n}^{p}(\frac{1}{n})^{p-2}\leq C_{n}^{p}[/tex][tex]\Rightarrow \frac{1}{n^2}\Large \sum_{p=2}^{p=n}{C_{n}^{p}(\frac{1}{n})^{p-2}}<\frac{2^n}{n^2}\leq1\Rightarrow (1+\frac{1}{n})^n<3[/tex] (avec[tex]n\geq2[/tex])
sachant que[tex] \Large \sum_{p=0}^{p=n}{C_{n}^{p}}=2^n[/tex]
l'inegalité est verifiée pour n=1
donc [tex] \forall n\geq1 (1+\frac{1}{n})^n<3[/tex]
A+

Salut,
je m'excuse iyad pour ne pas t'avoir repondu plutot.
ce que je voulais dire c'est que le fait de lever à une puissance [tex]x\in\mathbb{R} [/tex] reste un peu etrange pour nous, vu qu'on est habitués à travailler avec des puissances appartenant à [tex]\mathbb{Q}[/tex]. pour enlever toute ambiguité je t'est demandé de m'expliquer comment tu as fait. Pour eviter cette discusion Mr Laklakh Lhoussine nous a suggeré sa méthode surmentionnée. En ce qui suit je suggere une methode que je vous invite à commenter et rectifier:
on considere la fonction f definie sur[tex]\mathbb{R}_+^{\large\ast}[/tex] par[tex] f(y)=y^x[/tex]
avec x est un réel qu'on connait (la variable est y).
on a bien: [tex]\forall y\in\mathbb{R}_+^{\large\ast} f(y)=e^{xln(y)}[/tex]
en dérivant f en trouve que [tex]\forall y\in\mathbb{R}_+^{\large\ast} f'(y)=\frac{x}{y}e^{xln(y)}[/tex] on a [tex] f'>0[/tex] sur [tex]\mathbb{R}_+^{\large\ast}[/tex]
donc f est strictement croissante sur[tex] \mathbb{R}_+^{\large\ast}[/tex].
puisque [tex] 0<1+\frac{1}{x}<e^{\frac{1}{x}}.[/tex]
il en découle que [tex]f(1+\frac{1}{x})<f(e^{\frac{1}{x}})[/tex]
finalement on a [tex] \forall x\in\mathbb{R}_+^{\large\ast} (1+\frac{1}{x})^x<e[/tex].
Je demande à nos profs de rectifier ce qu'on a fait dans cette exercice et de nous ajouter d'autres methodes (si elles existent).
pour le 2eme exo je pressent qu'il sera fait avec l'absurde, de l'aide SVP!
A+

bonsoir,
--- exactement Mr chebychev, le second exercice se fait par l'absurde.
---ta proposition: [tex](\forall n \geq 2 ) : n^{2}\geq 2^{n}[/tex]est fausse , elle ne marchera pas pour [tex]n=5[/tex].

ÇáÓáÇã Úáíßã
solution de l'exercice 2:
resonnons par absurde et supposons que les deux termes sont à la fois superieurs strict à 2*(-n)
mais on sait que quelque soit a et b nombres reels alors on a :a.binferieur ou egale à 1/2(a.a+b.b)
si on pose a le premier terme,b le deuxieme .on aura une contraddiction:a+bsuperieur strict de (1/2)*n et a.b inferieur strict de 3/2 mais a+b superieur strict de a.bcar ils appartient tous à [0.1]

Bonjour .
Mr Laklakh pouvez vous nous donner les noms des bons livres en sup MPSI . On serait très reconnaissants .
Merci d'avance .

Bonjour,
Moi aussi comme "Mohammed" je voudrais bien avoir une idée sur les préparatifs pour les CPGE et aussi les livres que tu nous conseille. Merci d'avance.

bjr
etant professeur en MP êtoile a rabat j te propose le livre x-maths il est tres interessant est comporte beaucoup de classiques

celivre n exsite pas mr taibi ??? sinon donnez nous le nom de la maison d edition ou la collection

En maths on apprend que pour "prouver" l'existence ou le contraire il faut donner une "PREUVE" donc parler sans savoir ce que l'on dit risque d"etre treeeees dangereux
le livre existe et il est de la collection ellypse

ah bon !! mercii
mais je crois pas que vous etes mimoun taibi ..