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Mohamed
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Une famille de suites 14/07/2008 à 16h22



Bonjour :

Voici un exercice traitant d'une famille de suites ..
J'avoue que l'exercice est un peu sec mais j'attends la réaction des élèves
avant de le diluer par des indications ....



Exercice

Pour tout entier naturel [tex]k[/tex] supérieur ou égal à [tex]2[/tex] on considére

la suite [tex](U_{k,n})_{n \geq 1}[/tex] défine par : [tex]\displaystyle U_{k,n}=\sum_{p=n+1}^{kn} \frac{1}{p} [/tex] .

1) Prouver que la suite [tex]U_k[/tex] est convergente . On note [tex]L_k[/tex] sa limite .

2) Prouver que : pour tous entiers [tex]k[/tex] et [tex]k'[/tex] superieurs ou egaux à [tex]2[/tex]on a : [tex]L_{k+k'} = L_k L_{k'}[/tex]

3)Prouver que pour tout entier [tex]k\geq 2 [/tex] , on a : [tex] \frac{1}{k+1} \leq L_{k+1}-L_k \leq \frac{1}{k}[/tex]



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 Visiteur
Re : Une famille de suites 15/07/2008 à 14h13
Salut,
Que voulez vous dire par la suite [tex](u_{k})[/tex]??? car vous aver définie une autre suite à savoir [tex](u_{k,n})[/tex].
A+
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Mohamed
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Re : Une famille de suites 16/07/2008 à 01h07

Bonsoir:

pour tout [tex]k \geq 2[/tex] , entier , [tex]U_k[/tex] est une suite .
Pr exemple : [tex]U_3[/tex] est la suite définie par :[tex]\displaystyle (U_3) (n) = \sum_{k=n+1}^{3n} \frac{1}{p}[/tex] , pour simplifier on note ça : [tex]U_{3,n}[/tex] . Ainsi , pour tout entier
naturel non nul [tex]n[/tex] on a :[tex]\displaystyle U_{3,n} = \sum_{k=n+1}^{3n} \frac{1}{p}[/tex]

par exemple : [tex]\displaystyle U_{3,4} = \sum_{k=5}^{12} \frac{1}{p} =\frac{1}{5}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{7}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{9}+ \frac{1}{10}+ \frac{1}{11}+ \frac{1}{12} [/tex]

J'espére qu'avec cet exemple tu as compris ...si ce n'est pas le cas , n'hésite pas de parler ...
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Chebychev
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Re : Une famille de suites 16/07/2008 à 01h43
Salut,
1)-soit [tex]k\geq 2.[/tex]

on a [tex]n+1\leq p[/tex] donc [tex]\frac{1}{p}\leq \frac{1}{n+1}[/tex]

ce qui donne[tex] u_{k,n}\leq \frac{1}{n+1}\Large \sum_{p=n+1}^{p=kn}{1}[/tex]

c a d [tex]u_{k,n}\leq (k-1)\frac{n}{n+1}\leq k-1 [/tex]pour tout entier naturel [tex]n.[/tex]

finalement on a [tex](u_{k,n})[/tex] est majorée.
A+



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Mohamed
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Re : Une famille de suites 16/07/2008 à 13h07

Bonjour :
C'est bien Chebychev car tu as eu le courage de commencer ..
Cependant , révise l'expression que tu as donné à [tex]U_{k,n+1}[/tex] ci-dessus ...
et par conséquent redemontre ce qui concerne la croissance de la suite ...
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Chebychev
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Re : Une famille de suites 16/07/2008 à 13h47
Salut,
Question: est ce qu'on ne peut penser à deux suites adjacentes que si l'une est croissante est l'autre est décroissante?
Veuillez me repondre(sans donner des indications)
A+
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Mohamed
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Re : Une famille de suites 17/07/2008 à 01h48
bonsoir :

je n'ai pas compris ta question , mais je te dis quand même que si deux suites sont adjacentes alors forcément l'une est croissante et l'autre décroissante ...(on peut se contenter que ce soit ainsi à partir d'un certain rang ...) mais il faiut être fidéle à la définition donnée au cours ....
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laklakh el houssine
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Re : Une famille de suites 17/07/2008 à 15h44
salut, je crois que pour fixer les idées, j'invite les élèves de considérer le cas particulier qui leurs est
usuel:prendre [tex]k=2[/tex]. la réponse à la question de convergence repose sur le fait que toute suite croissante et majorée est convergente.
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Chebychev
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Re : Une famille de suites 18/07/2008 à 17h15
Salut,
on a [tex]u_{k,n+1}-u_{k,n}= (\Large \sum_{p=kn+1}^{p=k(n+1)}{\frac{1}{p}}) - \frac{1}{n+1}.[/tex]
Je trouve de la peine à montrer que [tex](\Large \sum_{p=kn+1}^{p=k(n+1)}{\frac{1}{p}}) - \frac{1}{n+1}\geq 0 [/tex]
De l'aide SVP.
Pour la 2eme Question est il possible de montrer que
[tex]\forall n\geq1 |u_{k+k',n}-u_{k,n}u_{k',n}|\leq v_n[/tex]
avec [tex](v_n) [/tex]une suite convergent vers 0?
De l'aide SVP.
Merci
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laklakh el houssine
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Re : Une famille de suites 18/07/2008 à 17h30
salut,
pour le faire, c'est simple:

essaye d'écrire pour [tex]k\geq 2[/tex] :


[tex]\Large \sum_{p=kn+1}^{kn+k}{\frac{1}{p}}=\Large \sum_{p=kn+1}^{kn+k-1}{\frac{1}{p}}+\frac{1}{k(n+1)}[/tex] puis tu appliques les propriétés de la relation d'ordre dans [tex]\mathbb{R}[/tex].
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Chebychev
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Re : Une famille de suites 18/07/2008 à 17h35
Salut,
Je ne vois pas bien votre indication Mr Lhoussine...
Merci
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laklakh el houssine
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Re : Une famille de suites 18/07/2008 à 17h37
bonsoir; je te laisse encore le soin de réfléchir.
on peut aussi montrer qe la suite [tex]u_{k}[/tex] est majorée par [tex]k-1[/tex] .

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