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Admin
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Inégalité et LN 15/07/2008 à 16h39
Bonjour,

Montrer que [tex]\large\ln\(1+\frac{a}{b}\)\ln\(1+\frac{b}{a}\)\leq\(\ln(2)\)^{2}[/tex] en étudiant la fonction [tex]\large f[/tex] définie sur [tex]\large\mathbb{R}_+^{\large\ast}[/tex] par : [tex]f(x)=\frac{\ln (1+ax)}{\ln (1+bx)}[/tex] et [tex]\large 0<a\leq b[/tex].


Saïd
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Mxx
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Re : Inégalité et LN 26/07/2008 à 16h47
Bonjour :

soit [tex] f [/tex] la fonction numérique définie sur [tex] \mathbb{R}_+^{\large\ast} [/tex] par : [tex] f(x) = \frac{\ln(1+ax)}{\ln(1+bx)} [/tex] où [tex] 0 < a \leq b [/tex] .

on a : [tex] f [/tex] est dérivable sur [tex] \mathbb{R}_+^{\large\ast} [/tex] ( quotient de fonctions dérivables ) .

donc , [tex] ( \forall x \in \mathbb{R}_+^{\large\ast} ) ; f'(x) = \frac{a(1+bx)\ln(1+bx) - b(1+ax)\ln(1+ax)}{(1+ax)(1+bx)(\ln(1+bx))^2} [/tex] .

or , [tex] \forall x \in \mathbb{R}_+^{\large\ast} [/tex] et [tex] \forall (a;b) \in \mathbb{R^2}_+^{\large\ast} [/tex] on a :

[tex] a \leq b \Rightarrow (1+ax) \leq (1+bx) \Rightarrow (1+bx)\ln(1+ax) \leq (1+bx)\ln(1+bx) [/tex] .

[tex] \Rightarrow (1+ax)\ln(1+ax) \leq (1+bx)\ln(1+ax) \leq (1+bx)\ln(1+bx) [/tex] .

et par suite on a : [tex] ( \forall x \in \mathbb{R}_+^{\large\ast} ) ; f'(x) \geq 0 \Rightarrow f [/tex] est croissante sur [tex]\mathbb{R}_+^{\large\ast} [/tex] .

par ailleur on a : [tex] \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x\rightarrow 0^{+}}(\frac{\ln(1+ax)}{ax})(\frac{ax}{bx})(\frac{bx}{\ln(1+bx)}) = \frac{a}{b} [/tex] ( car : [tex] \large\lim_{t\rightarrow 0}{\frac{\ln(1+t)}{t}} = 1 [/tex] ) .

il en découle que : [tex] ( \forall x \in \mathbb{R}_+^{\large\ast} ) ; f(x) > \frac{a}{b} [/tex] .

** pour [tex] x = \frac{1}{b} [/tex] on a : [tex] \ln(1+\frac{a}{b}) > \frac{a\ln(2)}{b} : (1) [/tex] .

** pour [tex] x = \frac{1}{a} [/tex] on a : [tex] \ln(1+\frac{b}{a}) < \frac{b\ln(2)}{a} : (2) [/tex] .


donc on peut rien conclure ?? .


A+ Mxx .

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$arah
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Re : Inégalité et LN 26/07/2008 à 18h38
slt
je pense qu'on peut conclure
puisque [tex]f[/tex] est croissante sur [tex]\mathbb{R}_+*[/tex]
et on a [tex]0<a=<b[/tex] donc [tex]\frac{1}{b}=<\frac{1}{a} [/tex]
donc [tex] f(\frac{1}{b})=<f(\frac{1}{a}) [/tex]
alors [tex] \frac{ln(1+ \frac{a}{b})}{ln(2)}=< \frac{ln(2)}{ln(1+ \frac{b}{a})}[/tex]
d'ou le resultat
a+
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Chebychev
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Re : Inégalité et LN 26/07/2008 à 21h02
Salut,
Qu'en est il de l'expression de la derivée Mxx,elle est fausse!
pour la conclusion il suffit de remarquer que [tex]ln(2)=ln(1+\frac{a}{a})=ln(1+\frac{b}{b})[/tex](comme l'a mentionné sarah).
Continuons:
f est derivable sur[tex] \mathbb{R}_+^{\large\ast}[/tex] avec [tex](ln(1+bx))^2f'(x)=ln(1+ax)ln(1+bx)\Large [\frac{a}{(1+ax)ln(1+ax)}-\frac{b}{(1+bx)ln(1+bx)}][/tex].
Considerons la fonction g definie sur [tex]\mathbb{R}_+^{\large\ast}[/tex] par[tex] g(y)=\frac{y}{(1+xy)ln(1+xy)}[/tex]
g est derivable sur[tex] \mathbb{R}_+^{\large\ast}[/tex] avec [tex][(1+xy)ln(1+xy)]^2g'(y)=ln(1+xy)-xy\leq 0[/tex]
donc g est [tex]\searrow[/tex] sur [tex]\mathbb{R}_+^{\large\ast}[/tex].
on a [tex]a\leq b[/tex] donc[tex] g(a)\geq g(b)[/tex].
il en decoule que [tex]\forall x>0 \frac{a}{(1+ax)ln(1+ax)} \geq \frac{b}{(1+bx)ln(1+bx)}[/tex]
donc[tex] \forall x>0 f'(x)\geq0 [/tex]
il en decoule que f est [tex]\nearrow[/tex] sur [tex]\mathbb{R}_+^{\large\ast}[/tex]...
A+
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Mxx
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Re : Inégalité et LN 26/07/2008 à 22h13
Bonsoir :

je ne vois pas pour quoi la dérivée est fausse chebychev ?? étant donné qu'elle est identique à la tienne .

le problème se pose sur son signe , là je suis d'acord .

car , quand j'ai trouvé : [tex] (1+ax)\ln(1+ax) \leq (1+bx)\ln(1+bx) [/tex] .

j'avais en tête que le terme [tex] (1+ax)\ln(1+ax) [/tex] etait multiplié par [tex] a [/tex] et c'est là où j'ai commis l'erreur .


A+ Mxx .
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Chebychev
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Re : Inégalité et LN 27/07/2008 à 01h50
Salut,
Je te jure Mxx que j'ai pas vu de a et b dans ton expression, Je m'excuse.
amicalement.
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laklakh el houssine
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Re : Inégalité et LN 27/07/2008 à 09h46
bonjour,

----une remarque concernant l'indication: considérer la fonction [tex]f[/tex] définie sur [tex]\mathbb{R}_+[/tex] par : [tex]f(x)=\frac{ln(1+ax)}{ln(1+bx)}[/tex].
--- je m'adresse à Mr Mxx pour lui dire qu'il peut exploiter le numérateur de sa dérivée en étudiant son signe.
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Mxx
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Re : Inégalité et LN 27/07/2008 à 17h48
Bonjour :

effectivement Mr , on pose : [tex] h(x) = a(1+bx)\ln(1+bx) - b(1+ax)\ln(1+ax) [/tex] avec [tex] x \in \mathbb{R}_+ [/tex] et [tex] 0< a \leq b [/tex] .

[tex] h [/tex] est dérivable sur [tex] \mathbb{R}_+ [/tex] ( somme et produit de fonctions dérivables ) .

[tex] \forall x \in \mathbb{R}_+ [/tex] on a : [tex] h'(x) = ab( \ln(1+bx) - \ln(1+ax) ) [/tex] .

et comme , [tex] \ln(1+ax) \leq \ln(1+bx) [/tex] alors on a : [tex]( \forall x \in \mathbb{R}_+ ) ; h'(x) \geq 0 \Rightarrow h [/tex] est [tex] \nearrow [/tex] sur [tex] \mathbb{R}_+ [/tex] .

d'où [tex] ( \forall x \in \mathbb{R}_+ ) ; h(x) \geq h(0) = 0 \Rightarrow f'(x) \geq 0 [/tex] .

et par suite [tex] f [/tex] est croissante sur [tex] \mathbb{R}_+^{\large\ast} [/tex] .


A+ Mxx .
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