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Admin
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Suites et convergence 06/07/2008 à 16h57
Bonjour,

Soit [tex]\large (\mathcal{U}_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/tex] une suite réelle. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses :


Proposition n° 1

Si [tex]\large (\mathcal{U}_n)[/tex] converge vers un réel [tex]\large\ell[/tex] alors [tex]\large (\mathcal{U}_{2n})[/tex] et [tex]\large (\mathcal{U}_{2n+1})[/tex] convergent vers [tex]\large\ell[/tex].


Proposition n° 2

Si [tex]\large (\mathcal{U}_{2n})[/tex] et [tex]\large (\mathcal{U}_{2n+1})[/tex] sont convergentes, alors [tex]\large (\mathcal{U}_{n})[/tex] est convergente.


Proposition n° 3

Si [tex]\large (\mathcal{U}_{2n})[/tex] et [tex]\large (\mathcal{U}_{2n+1})[/tex] sont convergentes vers une limite [tex]\large\ell[/tex], alors [tex]\large (\mathcal{U}_{n})[/tex] est aussi convergente vers [tex]\large\ell[/tex].

Saïd
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chebychev
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Re : Suites et convergence 06/07/2008 à 23h17
Salut,
On [tex]n\to+\infty \Leftrightarrow 2n\to+\infty[/tex]
et [tex]n\to+\infty \Leftrightarrow 2n+1\to+\infty[/tex]
donc La premiere propo est vraie.
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 oustada
Re : Suites et convergence 08/07/2008 à 16h55
Salut,
la première propo est vraie mais ce que tu as ecris ne suffit pas!
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Chebychev
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Re : Suites et convergence 08/07/2008 à 17h53
Salut,
est-il possible de m'eclaircir ce qu'on veut dire par [tex](u^_{2n})[/tex] et [tex](u^_{2n+1})[/tex]?
merci.
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Admin
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Re : Suites et convergence 08/07/2008 à 18h26
Hello,

[tex]\large\(u_{2n}\)[/tex] et [tex]\large\(u_{2n+1}\)[/tex] sont des sous-suites de [tex]\large\(u_{n}\)[/tex] (on dit aussi suites extraites de [tex]\large\(u_{n}\)[/tex]).


[tex]\large\(u_{2n}\)[/tex] désigne les termes de la suite [tex]\large\(u_{n}\)[/tex] pour lesquels [tex]\large n[/tex] est pair.


[tex]\large\(u_{2n+1}\)[/tex] désigne les termes de la suite [tex]\large\(u_{n}\)[/tex] pour lesquels [tex]\large n[/tex] est impair.

Saïd
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Admin
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Re : Suites et convergence 16/07/2008 à 10h03
Bonjour,

Voici des indications pour cet exo :

Proposition 2 : Trouver un contre exemple pour montrer que l'affirmation est fausse.


Proposition 3 : Raisonner avec les epsilons, en se rappelant que si la suite [tex]\large(\mathcal{U}_{n})[/tex] converge vers une limite [tex]\large\ell[/tex] s'écrit :


[tex]\large\forall\varepsilon >0\;\exists N\in\mathbb{N}[/tex] tel que [tex]\large n\geq N\;\Rightarrow\;|\mathcal{U}_{n}-\ell|<\varepsilon[/tex]


Saïd
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Mohamed
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Re : Suites et convergence 16/07/2008 à 13h21
Bonjour :

Merci said pour ces questions ...
j'ajoute celle là :

si [tex](U_{2n}) ; (U_{2n+1}) [/tex] et [tex](U_{3n}) [/tex] convergent , peut on dire que la suite[tex](U_n)[/tex] converge ?
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laklakh el houssine
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Re : Suites et convergence 16/07/2008 à 13h29
salut,
je tiens tout d'abord à donner la définition d'une suite extraite d'une suite:
soit [tex](u_{n})[/tex] une suite réelle. on dit que [tex](v_{n})[/tex] est une suite extraite de [tex](u_{n})[/tex] s'il existe une application [tex]\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}[/tex] strictement croissante telle que [tex]v_{n} =u_{\varphi (n)}[/tex].
par exemple: soit la suite [tex](u_{n})[/tex] définie par : [tex]u_{n} = (-1)^{n} [/tex]; la suite
[tex](u_{4n+3})[/tex] est une suite extraite de [tex](u_{n})[/tex].
--d'autre part, il ya quelques propriétés qu'il faut connaitre :
***si [tex](u_{n})[/tex] est une suite convergente alors toute suite extraite converge.
la démonstration repose sur le langage de [tex]\epsilon[/tex] et sur cette proposition qu'on doit démontrer par recurrence: [tex](\forall n\in \mathbb{N} : \varphi (n) \geq n [/tex].
***La réciproque n'est pas vraie , en effet il se peut qu'une suite extraite soit convergente sans que la suite le soit ; c'est le cas de la suite alternée .
*** proposition:
si les deux suites extraites [tex](u_{2n})[/tex] et [tex](u_{2n+1})[/tex] sont convergentes vers la même limite [tex]L[/tex], alors la suite [tex](u_{n})[/tex] converge vers [tex]L[/tex].
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