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spears
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exercice 17/07/2008 à 16h16
Bonjour :

le nombre [tex]1+ \frac{1}{\sqrt{2}} +...+ \frac{1}{\sqrt{n}} [/tex] avec [tex]\red n \in {\mathbb N} \quad \text{et} \quad n >1 [/tex] peut-il être rationnel ?
dans l'attente de vos réponses , je vous remercie d'avance
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Mohamed
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Re : exercice 18/07/2008 à 00h17

Bonsoir spears et tu es le bienvenu :
Ta question est trés interressante
Cependant je n'ai pas l'enthousiasme d'y répondre plus que j'en ai de donner
des questions qui peuvent mener à la réponse désirée .

Pour tout entier naturel non nul [tex]n[/tex] , on pose [tex]\displaystyle X_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}[/tex]
1) Prouver que : [tex]X_n[/tex] est irrationnel pour [tex]n \in \{2,3,4,5\}[/tex]
2)Pour tout [tex]k \in {\mathbb N}^*[/tex], on appelle entier élémentaire de type [tex]k[/tex] tout
entier de la forme : [tex]p_1 ... p_k[/tex] o√Ļ les [tex]p_i[/tex] sont des nombres premiers distints deux √† deux .
a)Prouver que si [tex]n[/tex] et [tex]n'[/tex] sont deux entiers élémentaires de types [tex]k[/tex] et [tex]k'[/tex]
respectivement avec [tex]k \neq k'[/tex] alors [tex]r \sqrt{n} + r' \sqrt{n'}[/tex] est irrationnel pour tout couple [tex](r,r') \neq (0,0)[/tex] de rationnels .
b)Prouver que si [tex]n[/tex] et [tex]n'[/tex] sont deux entiers élémentaires de même
type [tex]k[/tex] et si [tex]n \neq n'[/tex] alors [tex]r \sqrt{n} + r' \sqrt{n'}[/tex] est irrationnel pour tout couple [tex](r,r') \neq (0,0)[/tex] de rationnels .

3) Prouver que si [tex]n \geq 2[/tex] alors [tex]X_n[/tex] s'écrit : [tex]X_n = r_0 +Y_1 + ... + Y_m[/tex] avec [tex]r_0[/tex] rationnel et
[tex]m \geq 2[/tex] entier et chaque [tex]Y_k[/tex] est de la forme :

[tex]Y_k = \alpha_{1} \sqrt{m_1} +....+ \alpha_j \sqrt{m_j}[/tex] o√Ļ [tex]m_1 ,...,m_j[/tex] sont des entiers
élémentaires de type [tex]k[/tex] et [tex]\alpha_{1}, ... , \alpha_n[/tex] des rationnels non nuls .

4) Prouver que si [tex]n_1 ,...,n_p[/tex] sont des entiers élémentaires ( dont les types sont quelconques ) deux à deux distincts
alors on a :

[tex]\Large \displaystyle \forall (r_0,r_1,...,r_p) \in {\mathbb Q}^{p+1} \quad \quad \left( r_0+ \sum_{k=1}^{p} r_k \sqrt{n_k} = 0 \right) \Rightarrow \left( r_0= r_1=....= r_p =0 \right)[/tex]

5) En déduire que [tex]X_n[/tex] est irrationnel pour tout entier naturel [tex]n[/tex] tel que [tex]n \geq 2[/tex]





Note : entier élémentaire de type [tex]k[/tex] est une appelation de ma part pour que
je puisse formuler les questions !!!!
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Mohamed
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Re : exercice 19/07/2008 à 15h53

Bonjour:
à mon avis , cette question est trés difficile pour un élève de MPSI , voir un élève de spé...
à moins qu'il existe une démarche que j'ignore ...

je viens de trouver un certain nombre de choses qui pourraient faciliter encore la formulation
des questions précédentes .

Je cite :

si on note [tex]{\mathbb P}_n[/tex] l'ensemble des [tex]n[/tex] premiers nombres premiers
positifs , on peut considérer l'ensemble [tex]I_n[/tex] de tous les nombres entiers naturels
élémentaires dont les facteurs premiers son des éléments de [tex]{\mathbb P}_n[/tex]

Prouver que [tex]I_n[/tex] est fini et calculer son cardinal en fonction de [tex]n[/tex]

Il est clair maintenant que l'ensemble de tous les entiers naturels élémentaires est :[tex]\Huge I=\cup_{n \in {\mathbb N}^*} I_m [/tex]

si [tex]n_1,...,n_k[/tex] est une famille d'entiers élémentaires deux à deux disntincts et si
[tex]r_1,...,r_n[/tex] sont des rationnels , on appelera combinaison rationnelle de racines carrées d'entiers élémentaires (en abrégé : CRRCEE ) toute expression de la forme : [tex]\displaystyle S=\sum_{i=1}^k r_i \sqrt{n_i} [/tex]

Prouver que toute CRRCEE a la forme : [tex]\displaystyle \bf S=\sum_{p=1}^{m} \left( \sum_{i=1}^{C_m^p} r_{p,i} \, \sqrt{{\nu}_{p,i}} \right) [/tex]
avec [tex]{\nu}_{p,i}[/tex] est un entier élémentaire de type [tex]p[/tex] appartenant à [tex]I_n[/tex]


Ainsi , la question posée initialement se raméne à la question suivante :

Prouver que pour tout entier naturel non nul [tex]m[/tex] si pour
tout [tex]p \in \{1,...,m\}[/tex] et tout [tex] i \in \{1,...,C_m^p \}[/tex] , [tex]r_{p,i}[/tex] est un rationnel et
[tex]{\nu}_{p,i}[/tex] est un entier naturel élémentaire de type [tex]p[/tex] dont les facteurs
premeirs sont dans [tex]{\mathbb P}_m[/tex] et si en plus [tex]r_0[/tex] est un rationnel alors on a :

[tex]\large \bf \displaystyle r_0 + \sum_{p=1}^{m} \left( \sum_{i=1}^{C_m^p} r_{p,i} \, \sqrt{{\nu}_{p,i}} \right) = 0 \Rightarrow r_0=0 \quad \text{et} \quad (\forall p \in \{1,...,m\}) ( \forall i \in \{1,...,C_m^p \}) \quad r_{p,i} = 0 [/tex]



Une autre façon de procéder est de :

Prouver que toute CRRCEE est de la forme : [tex]\bf \large \displaystyle \sum_{p=1}^{m} \left( \sum_{\nu \in I_p} r_{\nu} \sqrt{\nu} \right) [/tex] avec [tex]r_{\nu} [/tex] est un rationnel pour tout [tex]\nu \in I_p[/tex] et tout [tex]p \in \{1,...,m\}[/tex]

et de prouver par la suite que :

Pour tout entier naturel non nul [tex]m[/tex] et tout rationnel [tex]r_0[/tex] on a:

si [tex]\bf \large \displaystyle \sum_{p=1}^{m} \left( \sum_{\nu \in I_p} r_{\nu} \sqrt{\nu} \right) = 0 [/tex] alors [tex]r_0=0[/tex] et tous les [tex]r_{\nu}[/tex] sont nuls (avec les mêmes conventions qu'en haut )


Je pense que cette derniére vision peut faciliter un accés à une démonstration par récurrence ...

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ABB
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Re : exercice 20/07/2008 à 19h12
Bonjour

Mr Mohamed, je vois qu'il existe une méthode trés simple dans sa formulation, il s'agit de résoudre l'exercice suivant:

Montrer que :
[tex]\Large(\forall n\in\mathbb{N}-\{0;1\})(\forall x_{1};x_{2};.....;x_{n}\in\mathbb{Q})(\Large \sum_{p=1}^{p=n}{\sqrt{x_{p}}}\in \mathbb{Q}\Rightarrow(\forall p\in\{1;....;n})(\sqrt{x_{p}}\in\mathbb{Q}))[/tex]

la résolution de cet exercice repose simplement sur le raisonnement par récurrence.
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Mohamed
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Re : exercice 21/07/2008 à 00h28

Bonsoir ABB

j attends avec impatience les détails !!!!
je serai content en plus car franchement je ne conais pas de mathode
rapide pour cette fameuse question !!!

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ABB
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Re : exercice 21/07/2008 à 00h54
Bonsoir, Mr Mohamed
Est-ce que tu est d'accord sur le fait que le résultat qui j'ai proposé permet de résoudre la question initialement proposée?

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laklakh el houssine
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Re : exercice 21/07/2008 à 01h41
bonsoir,

remarquons que :

[tex]\Large \sum_{p=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{p}}}=\Large \sum_{p=1}^{n}{\sqrt{\frac{1}{p}}}[/tex]
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Mohamed
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Re : exercice 21/07/2008 à 15h49


Bonjour :

[tex]\bullet[/tex]Oui ABB , c'est tr√©s clair que ta formulation contr√īle parfaitement le probl√®me
mais je ne vois pas comment la récurrence s'adapte avec elle ....
en effet si on √©l√©ve au carr√© un expression de la forme [tex]\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \sqrt{a_k}[/tex] o√Ļ [tex]n[/tex] est un entier [tex]\geq 3[/tex] et les [tex]a_i[/tex] des rationnels
dont la racine est irrationnelle alors on obtient une somme de la fome : [tex]\displaystyle r+ \sum_{1\leq i<j \leq n} \sqrt{2a_i a_j}[/tex] o√Ļ [tex]n[/tex] et on voit que [tex]\frac{n(n-1)}{2}[/tex] est le nombre des radicaux . Or pour [tex]n \geq 3[/tex] on a : [tex]\frac{n(n-1)}{2} \geq n[/tex] . ceci ne donne pas de chances pour r√©ussir une r√©currence ....

J'attends donc de ta part si tu vois les choses autrement de me l'indiquer car il n'y a pas
que le fait d'élever au carré ....

[tex]\bullet[/tex]Oui Lhoussaine , on a utilisé cette remarque ...merci de la'voir indiquée ...




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laklakh el houssine
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Re : exercice 21/07/2008 à 16h34
salut,

---concernant la recurrence, le problème ne se pose pas pour l'initialisation, mais il se pose au niveau de la transfmission et ce dernier peut -être résoulu si l'on arrive à montrer que :
[tex]\Large \sum_{p=1}^{k}{\sqrt{x_{p}}} \in \mathbb{Q} \Rightarrow (\forall p \in \{1,2,...,k}) : \sqrt{x_{p}}\in \mathbb{Q} [/tex]
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Mohamed
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Re : exercice 21/07/2008 à 19h02

bonjour :

[tex]\bullet[/tex] tout d'abord, Lhoussaine, c'est [tex]\forall[/tex] à la place de [tex]\exists[/tex]
j'ai corrigé cette erreur de frappe .

[tex]\bullet[/tex] oui , Lhoussaine : c'est ce qu'à dit ABB


[tex]\bullet[/tex] je vois tout cela peut se ramener apparament à

proposition01
si on designe par [tex]p_n[/tex] le neme nombre premier positif pour
tout [tex]n \in {\mathbb N}^*[/tex]
et si on pose [tex]p_0=1[/tex] alors pour tout entier
naturel [tex]n[/tex] , la famille : [tex](\sqrt{p_0},...,\sqrt{p_n})[/tex]
est une famille libre du [tex]{\mathbb Q}-[/tex] espace vectoriel [tex]{\mathbb R}[/tex]



c'est un théme épineux ...on peut le résoudre en utilisant la notion de trace
, les formes quadratiques et les extensions de corps ...etc...

mais lorsqu'on progresse dans la recherche , il s'avére que cette proposition ne suffit pas
et il faut prouver la :

proposition2
avec les mémes notations que dans la proposition1 on a :
la famille [tex]\displaystyle \left(\sqrt{ \prod_{k \in I} p_k} \right)_{I \in {\mathcal P}_f ({\mathbb N}) [/tex] est
une famille libre ([tex]{\mathcal P}_f ({\mathbb N})[/tex] designe l'ensemble de toutes les parties finies
de [tex]\mathbb N[/tex] avec la convention : [tex]\displaystyle \prod_{k \in \emptyset } p_k =1 [/tex] )




et c'est clair que tout ça depasse le niveau de maths sup voire maths spé (ce que j'avais dit plus en haut)

C'est mon avis à propos de cette question

et si une méthode plus simple peut prouver l'implication suggére elle sera
la bienvenue et elle nous dispensera de beaucoup d'efforts ....




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 fouad
Re : exercice 31/07/2008 à 14h50
bonjour,

Soit [tex]A=\Large \sum_{p=1}^{p=n}{\frac{1}{\sqrt{p}}} [/tex]

on pose:

[tex]f(x,a_{1},a_{2},...a_{n-1}) = \Large \prod_{(i_{2},i_{3},...,i_{n-1})\in (0,1)^{n-1}}{(x-1-a_{1}-(-1)^{i_{2}}*a_{2}-(-1)^{i_{3}}*a_{3}-...-(-1)^{i_{n-1}}*a_{n-1})}[/tex]

On a pour tout [tex]i>1[/tex]

[tex]f(x,a_{1},...,a_{i},...a_{n-1})=f(x,a_{1},...,-a_{i},...a_{n-1})[/tex]

donc on peut composer le polynome f comme :

[tex]f(x,a_{1},...a_{n-1})=h(x,a_{1}^{2},a_{2}^{2},...a_{n-1}^{2})+a_{1}*g(x,a_{1}^{2},a_{2}^{2},...a_{n-1}^{2})[/tex]

o√Ļ [tex] h [/tex] et [tex]g[/tex] sont 2 polynomes

Posons [tex]a_{i}=\frac{1}{\sqrt{i+1}} [/tex]

Supposons que [tex]A[/tex] est rationnel.

On a

[tex]f(A,a_{1},...a_{n-1})=0[/tex] Donc

[tex]g(A,a_{1}^{2},a_{2}^{2},...a_{n-1}^{2})=0[/tex] et [tex]h(A,a_{1}^{2},a_{2}^{2},...a_{n-1}^{2})=0[/tex]
car [tex]a_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}[/tex] est irrationnel et [tex]h(A,a_{1}^{2},a_{2}^{2},...a_{n-1}^{2})[/tex] est rationnel.

On a aussi
[tex]f(A,-a_{1},a_{2},...a_{n-1})=h(A,a_{1}^{2},a_{2}^{2},...a_{n-1}^{2})-a_{1}*g(A,a_{1}^{2},a_{2}^{2},...a_{n-1}^{2}) = 0 [/tex]

Alors que
[tex]f(A,-a_{1},a_{2},...a_{n-1}) = \Large \prod_{(i_{2},i_{3},...,i_{n-1})\in (0,1)^{n-1}}{(A-1+a_{1}-(-1)^{i_{2}}*a_{2}-(-1)^{i_{3}}*a_{3}-...-(-1)^{i_{n-1}}*a_{n-1})}[/tex] est strictement postif car chaque terme du produit est strictement positif. Absurde. A est irrationnel.
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