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Autour du TVI 06/07/2008 à 17h05
Bonjour,

A votre avis, est-ce qu'une fonction qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires est nécessairement continue ?

SaĂŻd
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chebychev
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Re : Autour du TVI 06/07/2008 à 23h11
Hello Said,
On a deux versions en ce qui concerne le TVI:
1)
si f est une fontion continue sur [a,b] alors pour tous réel k se trouvant entre f(a) et
f(b) il existe un réel [tex]\alpha \in [a,b] [/tex]tel que [tex]f(\alpha)=k[/tex]

2)
si f est continue sur [a,b] et [tex]f(a)f(b)\leq0[/tex] alors l'Ă©quation f(x)=0 admet au moins une solution dans [a,b]
alors de quelle version parlez vous?
svp, lorsqu'on dit que f verifie La TVI, ceci n'inclut pas les hypothèse du TVI à savoir la continuité..??
tout eclercisement sera le bienvenu.
A+
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said

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Re : Autour du TVI 07/07/2008 à 09h12
Hello Chebychev,

Il s'agit de l'énoncé n° 1.

L'idée ici est de trouver un contre exemple. Une fonction qui ne soit pas continue (en un point), mais qui pour tout réels [tex]\large a\,,\,b[/tex] et pour tout [tex]\large k\in\[f(a)\,,\,f(b)\][/tex] il existe un réel [tex]\large\alpha\in\[a\,,\,b\][/tex] tel que [tex]\large k=f(\alpha)[/tex]
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evariste

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Re : Autour du TVI 08/07/2008 à 11h51
Bonjour,

On peut essayer de trouver un contre exemple si on pense que la réponse est non, chose qui n'est pas évidente à priori, par ailleurs on a interêt à cerner le problème avant de chercher des contre-exemples, on effet il se peut que la proposition soit vrai pour une classe très générale de fonctions et que l'on cherche des contre exemple dans cette classe ce qui ne peut aboutir évidemment. Puisqu'on est en programme prépa il est souvent utile de lier ce genre de problème à certaines connaissances, chose nouvelle en prépa par rapport au programme de bac: il faut beaucoup de culture mathématique et ne pas être borné par le programme.

Une piste pour cet exercice est d'utiliser le théorème de Darboux: la fonction dérivée d'une fonction dérivable vérifie le TVI, sachnt qu'il existent des fonctions dérivables dont la dérivée n'est pas continue, cecei répond à la question et oriente en même temps la recherche d'un contre exemple, il suffit de cherche une fonction dérivable qui ne soit pas [tex]C^1[/tex], la fonction dérivée sera alors un contre exemple.
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ABB
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Re : Autour du TVI 08/07/2008 à 12h56
Bonjour

Formulons la question pour qu'on puisse trouver une réponse:
Si [tex]f[/tex] est une fonction définie sur un intervalle [tex]I [/tex] telle que pour tout[tex] (a ;b)[/tex] de [tex]I ^2[/tex] et pour tout [tex]y [/tex]de l’intervalle [tex](f(a) ;f(b))[/tex] il existe un réel [tex]x[/tex] de [tex]I [/tex]tel que[tex] y=f(x)[/tex]
La fonction[tex] f [/tex]est-elle continue sur[tex] I[/tex]?
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Mohamed
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Re : Autour du TVI 10/07/2008 à 00h43

Bonsoir :
[tex] \bullet[/tex] Il est préférable d'exprimer ici la conclusion du théorème des valeurs
intérmediaires comme suit : l'image de tout intervalle est un intervalle .

On est donc ramené à chercher une fonction [tex]f[/tex] définie sur un
intervalle [tex]I[/tex] tel que : pour tout intervalle [tex]J[/tex] inclus dans
[tex]I[/tex] , on aie : [tex]f(J)[/tex] est un intervalle , sans que [tex]f[/tex]
soit continue sur [tex]I[/tex] .....

[tex] \bullet[/tex] En relation avec ce sujet , je connais une fonction discontinue en tout point
d'un intervalle [tex]I[/tex] et qui vérifie :

Pour tout intervalle non vide de la forme [tex]J=]a,b[[/tex] , inclus dans
[tex]I[/tex] , on a : [tex]f(J)=I[/tex]


Cette fonction peut être un sujet d'un problème que j'essayerai de préparer ..


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