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Suite récurrente 06/08/2008 à 10h59
Bonjour,

Pardon pour cette trop longue absence, mais, ces derniers jours, j'étais pris par tout ce qui n'est pas mathématiques ... mon travail ;-)

Allez, voici un petit exo sur les suites pour nous remettre dans le bain !



Soit [tex]\large (U_n)[/tex] une suite bornée vérifiant la relation :

[tex]\large\forall n\in\mathbb{N}^*\;2U_n\leq U_{n+1}+U_{n-1}[/tex]



On définit une suite [tex]\large (V_n)[/tex] en posant pour tout entier naturel [tex]\large n[/tex], [tex]\large V_n=U_{n+1}-U_n[/tex]

Il s'agit de démontrer que la suite [tex]\large (V_n)[/tex] est convergente et de donner sa limite.

Saïd
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iyad
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Re : Suite récurrente 06/08/2008 à 14h41
1)pour montrer que [tex]V_n[/tex]est convergente
on a [tex] 2U_n \leq U{n+1} +U{n-1} [/tex]
c a d[tex]U_n+U{n-1} \leq U{n+1} + U_n [/tex]
c a d [tex]V_n \leq V_{n+1}[/tex]
donc [tex]V_n[/tex] est croisante
on a [tex] U_n [/tex]est borner
donc [tex]\exists[/tex] [tex]m[/tex] et[tex] M [/tex]de[tex] \mathbb{R}[/tex]
tel que [tex]\forall[/tex][tex]n\in\mathbb{N}[/tex] [tex] m \leq U_n \leq M[/tex]
c a d [tex]-M \leq U_n\leq-m[/tex] et on a [tex] m \leq U_{n+1} \leq M[/tex]
donc [tex]m-M \leq V_{n} [/tex][tex] M-m [/tex]
donc [tex]V_n[/tex]est majoré d'ou [tex]V_n[/tex]est convergente
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Conan
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Re : Suite récurrente 06/08/2008 à 15h41
Bonjour

Soit [tex]n[/tex] de [tex] N* [/tex] on a : [tex] 2U_n\leq U_{n+1}+U_{n-1} [/tex] donc [tex] U_{n}-U_{n-1} \leq U_{n+1} - U_{n} [/tex]


Alors [tex] \large\forall n\in\mathbb{N}^* \; \large V_{n-1} \leq V_{n} [/tex] d'oû [tex] \large (V_n) [/tex] est croissante .


[tex] \large (U_n) [/tex] est bornée donc il existe [tex]M > 0 [/tex] , tel que pour tout [tex] n [/tex] de [tex] N* [/tex] [tex] \large \left|U_n| \leq M [/tex]


soit [tex] n [/tex] de [tex] N* [/tex] [tex] \large |V_n| = |U_{n+1}-U_{n}| \large \leq |U_{n+1}| + |U_n| \leq 2M [/tex] donc [tex] \large ( V_n) [/tex] est- croissante et majorée par [tex] 2M [/tex] alors [tex] \large ( V_n) [/tex] est convergente vers une limite qu'on notera [tex] l [/tex]


on a [tex]( \forall [/tex] [tex] $ \varepsilon [/tex] [tex] > 0 ) [/tex] [tex] ( \exists \alpha \in N* ) [/tex] / [tex] (\forall n \in N*) [/tex] [tex] n \geq \alpha \Rightarrow [/tex] [tex] l-\epsilon \leq U_{n} - U_{n-1} \leq l+\epsilon [/tex]


[tex]\Large 1) [/tex] si [tex] l > 0 [/tex]

pour [tex] \epsilon = \frac{l}{3} > 0 [/tex] on aura [tex] 0 < \frac {2l}{3}\leq U_{n} - U_{n-1} \leq \frac{4l}{3} [/tex] ce qui veux dire que [tex] (U_n) [/tex] est croisannte et puisqu'elle est aussi bornée; alors

[tex] (U_n) [/tex] est convergente . donc [tex] U_{n} - U_{n-1} [/tex] tend vers 0 .


[tex]\Large 2) [/tex] si [tex] l < 0 [/tex]

on aura de la méme façon pour tout [tex] n [/tex] de [tex] N* [/tex] [tex] U_{n} - U_{n-1} < 0 [/tex] donc [tex] (U_n) [/tex] est décroisannte . et puisqu'elle est aussi bornée alors [tex] U_n [/tex] est convergente donc [tex] U_{n} - U_{n-1} [/tex] tend vers 0.


de [tex] (1) [/tex] et [tex] (2) [/tex] on déduit que [tex] \lim_{n\rightarrow +\infty} (V_n) = 0 [/tex]



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