Bonjour,

Pardon pour cette trop longue absence, mais, ces derniers jours, j'étais pris par tout ce qui n'est pas mathématiques ... mon travail

Allez, voici un petit exo sur les suites pour nous remettre dans le bain !



Soit [tex]\large (U_n)[/tex] une suite bornée vérifiant la relation :

[tex]\large\forall n\in\mathbb{N}^*\;2U_n\leq U_{n+1}+U_{n-1}[/tex]


On définit une suite [tex]\large (V_n)[/tex] en posant pour tout entier naturel [tex]\large n[/tex], [tex]\large V_n=U_{n+1}-U_n[/tex]

Il s'agit de démontrer que la suite [tex]\large (V_n)[/tex] est convergente et de donner sa limite.

Saïd

1)pour montrer que [tex]V_n[/tex]est convergente
on a [tex] 2U_n \leq U{n+1} +U{n-1} [/tex]
c a d[tex]U_n+U{n-1} \leq U{n+1} + U_n [/tex]
c a d [tex]V_n \leq V_{n+1}[/tex]
donc [tex]V_n[/tex] est croisante
on a [tex] U_n [/tex]est borner
donc [tex]\exists[/tex] [tex]m[/tex] et[tex] M [/tex]de[tex] \mathbb{R}[/tex]
tel que [tex]\forall[/tex][tex]n\in\mathbb{N}[/tex] [tex] m \leq U_n \leq M[/tex]
c a d [tex]-M \leq U_n\leq-m[/tex] et on a [tex] m \leq U_{n+1} \leq M[/tex]
donc [tex]m-M \leq V_{n} [/tex][tex] M-m [/tex]
donc [tex]V_n[/tex]est majoré d'ou [tex]V_n[/tex]est convergente

Bonjour

Soit [tex]n[/tex] de [tex] N* [/tex] on a : [tex] 2U_n\leq U_{n+1}+U_{n-1} [/tex] donc [tex] U_{n}-U_{n-1} \leq U_{n+1} - U_{n} [/tex]


Alors [tex] \large\forall n\in\mathbb{N}^* \; \large V_{n-1} \leq V_{n} [/tex] d'oû [tex] \large (V_n) [/tex] est croissante .


[tex] \large (U_n) [/tex] est bornée donc il existe [tex]M > 0 [/tex] , tel que pour tout [tex] n [/tex] de [tex] N* [/tex] [tex] \large \left|U_n| \leq M [/tex]


soit [tex] n [/tex] de [tex] N* [/tex] [tex] \large |V_n| = |U_{n+1}-U_{n}| \large \leq |U_{n+1}| + |U_n| \leq 2M [/tex] donc [tex] \large ( V_n) [/tex] est- croissante et majorée par [tex] 2M [/tex] alors [tex] \large ( V_n) [/tex] est convergente vers une limite qu'on notera [tex] l [/tex]


on a [tex]( \forall [/tex] [tex] $ \varepsilon [/tex] [tex] > 0 ) [/tex] [tex] ( \exists \alpha \in N* ) [/tex] / [tex] (\forall n \in N*) [/tex] [tex] n \geq \alpha \Rightarrow [/tex] [tex] l-\epsilon \leq U_{n} - U_{n-1} \leq l+\epsilon [/tex]


[tex]\Large 1) [/tex] si [tex] l > 0 [/tex]

pour [tex] \epsilon = \frac{l}{3} > 0 [/tex] on aura [tex] 0 < \frac {2l}{3}\leq U_{n} - U_{n-1} \leq \frac{4l}{3} [/tex] ce qui veux dire que [tex] (U_n) [/tex] est croisannte et puisqu'elle est aussi bornée; alors

[tex] (U_n) [/tex] est convergente . donc [tex] U_{n} - U_{n-1} [/tex] tend vers 0 .


[tex]\Large 2) [/tex] si [tex] l < 0 [/tex]

on aura de la méme façon pour tout [tex] n [/tex] de [tex] N* [/tex] [tex] U_{n} - U_{n-1} < 0 [/tex] donc [tex] (U_n) [/tex] est décroisannte . et puisqu'elle est aussi bornée alors [tex] U_n [/tex] est convergente donc [tex] U_{n} - U_{n-1} [/tex] tend vers 0.


de [tex] (1) [/tex] et [tex] (2) [/tex] on déduit que [tex] \lim_{n\rightarrow +\infty} (V_n) = 0 [/tex]