Logo-de-mathsland.com

said

Admin
Hors Ligne 
TVI et point fixe (une autre variante) 10/07/2008 à 10h50
Bonjour,

Soit [tex]\large f\;:\;[0\,,\,1]\to [0\,,\,1][/tex] une fonction croissante.

Montrer que [tex]\large f[/tex] admet un point fixe.

SaĂŻd
Code LaTEX 
Espace
Chebychev
Hors Ligne 
Re : TVI et point fixe (une autre variante) 11/07/2008 à 09h34
Salut,
Est-ce que f est surjective (par construction)?
A+
Espace

said

Admin
Hors Ligne 
Re : TVI et point fixe (une autre variante) 11/07/2008 à 09h47
Salut,

pas que je sache ;-)

Voici une indication >> Considère l'ensemble [tex]\large\mathcal{E}\,=\,\{x\in[0\,,\,1]\;,\;f(x)\geq x\}[/tex]
Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : TVI et point fixe (une autre variante) 11/07/2008 à 11h49


Bonjour :

Ă  Chebychev :
rien n'indique dans l'énoncé que [tex]f[/tex] est bijective .
elle est croissante , donc elle peut par exemple ne pas ĂŞtre
injective .
Si on avait supposé [tex]f[/tex] strictement croissant elle
induirait une bijection de [tex][0,1][/tex] vers [tex]f([0,1])[/tex]
et il faut faire attention ! [tex]f([0,1])[/tex] n'est pas forcément
un intervalle ! tu sais pourquoi ....



Ici un exemple qui illustre ce genre de fonctions ....


ptfixe.JPG  (27 k)
Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : TVI et point fixe (une autre variante) 11/07/2008 à 21h40


Bonsoir:

Essaye de prouver que [tex] \mathcal E[/tex] suggéré par said
est une partie non vide majorée de [tex]\mathbb R[/tex]
On donne le théorème :

thm :
Toute partie non vide majorée de [tex]\mathbb R[/tex] admet une borne supérieure .

Def:
Soit [tex]A[/tex] une partie non vide de [tex]\mathbb R[/tex] .
On dit qu'un réel [tex]M[/tex] est une borne supérieur de [tex]A[/tex] si :
1) [tex]M[/tex] est un majorant de [tex]A[/tex]
2) Pour tout majorant [tex]M'[/tex] de [tex]A[/tex] on a : [tex]M \leq M'[/tex]

Def
Soit [tex]A[/tex] une partie non vide de [tex]\mathbb R[/tex]
un réel [tex]M[/tex] est un majorant de [tex]A[/tex] si : [tex]\forall x \in A \quad x \leq M[/tex]


Prop
Si une partie [tex]A[/tex] de [tex]\mathbb R[/tex] admet une borne supérieure alors
celle-ci est unique on la note : [tex]\text{sup}(A)[/tex]


Prop
Soit [tex]A[/tex] une partie non vide de [tex] \mathbb R[/tex] et [tex]M[/tex] un réel .
On a : [tex]M=\text{sup}(A) \Leftrightarrow \forall x \in A \quad M \leq x \quad \text{et} \quad \forall \varepsilon \in ]0,+\infty[ \quad \exists a \in A \quad M-\varepsilon < a[/tex]
Code LaTEX 
Espace
Chebychev
Hors Ligne 
Re : TVI et point fixe (une autre variante) 12/07/2008 à 01h32
Salut,
Le majorant doit etre un element de [tex]\LARGE A[/tex]?
A+
Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : TVI et point fixe (une autre variante) 13/07/2008 à 00h30
Bonsoir :

Que veux tu dire de Le majorant ??


je rapelle que si une partie non vide de [tex] \mathbb R [/tex] est majorée

il n y a pas unicité 'du' majorant ...

C'est la borne supérieure qui est unique lorsqu'elle existe ...

Aussitôt , il est demandé de préciser ce qu tu veux dire par 'Le' ci-dessus ...
Code LaTEX 
Espace
Chebychev
Hors Ligne 
Re : TVI et point fixe (une autre variante) 13/07/2008 à 02h19
Salut,
Je m'excuse pour la faute que j'ai commis.Effectivement, il n'y a pas d'unicité de majorant.
Je reformule ma question: un majorant peut appartenir à l'ensemble majorée? c'est la meme chose pour La borne sup?
Prenons cet exemple: [tex] \Large I=[0,1[[/tex]
1 est il un majorant ou bien une borne sup ou bien les deux?
Veuillez mieux nous eclairer ces notions vu que c'est la premiere fois qu'on les affronte.
NB: dans le nouveau programme on parle pas du majorant...
A+

Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : TVI et point fixe (une autre variante) 13/07/2008 à 23h46



Bonsoir:



[tex] \bullet [/tex] Essaye tout d'abord de lire les définitions et d'utliser ce que tu as compris ...

[tex] \bullet [/tex] Un majorant qui appartient à la partie qu'elle majore est sa borne supérieure : Demontre le ..

[tex] \bullet [/tex] La borne supérieure d'une partie (si elle exsiet) est un majorant de celle-ci .

[tex] \bullet [/tex] Tes questions ci-dessus se reformulent mieu ainsi :

[tex]1[/tex] est -il la borne supérieure de [tex][0,1[[/tex] ou juste un majorant ?

[tex] \bullet [/tex] La réponse est : [tex]1 = \text{sup}([0,1[) [/tex] . Demontre le ....

[tex] \bullet [/tex]Definition:
====================
Si [tex]A[/tex] est une partie de [tex]\mathbb R[/tex] non vide et majorée et si [tex]\text{sup} (A) \in A[/tex] alors [tex]\text{sup} (A)[/tex] est appelé : Le plus grand élément de [tex]A[/tex] on le note souvent : [tex]\text{max}(A)[/tex]


[tex] \bullet [/tex] Exemples
=======
[tex]1[/tex] est la plus grand élément de [tex][0,1][/tex] .

[tex]1[/tex] est le plus grand élément de [tex] A = \left\{ \frac{1}{n} / n \in {\mathbb N}^* \} [/tex]

[tex] \bullet [/tex] On peut dire que si [tex]A[/tex] est une partie non vide majorée de [tex]\mathbb R[/tex] alors :
pour tout réel [tex]\alpha[/tex] on a : [tex]\alpha=\text{max}(A) \Leftrightarrow \alpha = \text{sup}(A) \quad \text{et} \quad \alpha \in A [/tex]
Code LaTEX 
Espace
Sujet verrouilé par Vous êtes sur l'ancien Forum. Celui-ci est fermé. Cliquer ici pour accéder au nouveau Forum