Logo-de-mathsland.com
salima
En Ligne 
exercice 05/08/2010 à 10h15
salut,

voilà un exercice que je voulais bien qu'il prenne votre attention surtout des professeurs qui sont ici c'est un exercice de l'épreuve de mathématiques à l'ENSAM 2010.merci de me répondre.
Enoncé:
démontrer que :[tex]\large (2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n[/tex] est un entier pair.

autre chose j'ai pensé à le résoudre par la formule de binome alors c quoi votre réponse
Code LaTEX 
Espace

evariste

Admin
En Ligne 
Re : exercice 05/08/2010 à 16h56
Salut


L'idée du binôme est bonne et donne le résultat. Je te proposes ici une idée qui est plus en phase avec les prépas.

On considère l'ensemble [tex]\mathbb{Z}[\sqrt{3}]=\{a+b\sqrt{3}\ \, a,b \in \mathbb{Z} \}[/tex]

Cet ensemble est un anneau. On considère l'application [tex]\sigma: \mathbb{Z}[\sqrt{3}]\rightarrow \mathbb{Z}[\sqrt{3}][/tex] définit par [tex]\sigma(a+b\sqrt{3})=a-b\sqrt{3}[/tex]

Montrer que [tex]\forall a,b,c,d \in \mathbb{Z}[/tex] [tex]\sigma((a+b \sqrt{3})(c+d\sqrt{3}) = \sigma(a+b \sqrt{3}) \sigma(c+d\sqrt{3})[/tex] (On dit que [tex]\sigma[/tex] est un morphisme d'anneau).

Maintenant il est claire que [tex](2+\sqrt{3})^n[/tex] s'ecrit sous la forme [tex]A+B\sqrt{3}[/tex] cĂ d [tex](2+\sqrt{3})^n=A+B\sqrt{3}[/tex]. Alors [tex]\sigma((2+\sqrt{3})^n) = \sigma( A+B\sqrt{3})[/tex]

Or [tex]\sigma((2+\sqrt{3})^n)= (\sigma( 2+\sqrt{3}))^n = (2-\sqrt{3})^n[/tex] et [tex]\sigma( A+B\sqrt{3})= A-B\sqrt{3}[/tex]

On en déduit que [tex](2-\sqrt{3})^n = A-B\sqrt{3}[/tex] et finalement que [tex](2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n =2A[/tex] et est donc un entier pair.




Code LaTEX 
Espace
 mth
Re : exercice 05/08/2010 à 17h44
bonjour

mes remercimznts a EVARISTE pour ses interventions
seulement je vous demande de me donner des informations sur l'oral de l'X puisqu'il est le plus difficile
1) que doit on faire pour bien preparer l'oral de l'X ? apprendre divers exercices classiques ou bien rester avec des exos pour un long temps( 1semaine +)
2)connaissez vous un livre qui sera un aide pour tous les polytechniciens en herbe?

et merci d'avance
Espace
salima
En Ligne 
Re : exercice 05/08/2010 à 17h50
oui bonne méthode plus asticieuse merci infinement.
sinn vous pouvez me la faire avec la formule de binome car je ne suis pas si sure et est ce qu'on doit discuter les cas si n est pair ou impair?? merci d'avance.
Espace
 Diabolo-Menthe
Re : exercice 06/08/2010 à 00h32
BSR salima

Comme te l'a confirmé evariste , on peut le traiter avec le Binôme de NEWTON

Au préalable , quelques notations ( c'est la partie un peu dure , questions de notations ..... )
Soit n un entier naturel , on pose
p=le plus grand entier naturel tel que 2p<=n
et
q le plus grand entier naturel tel que 2q + 1 <=n

En fait , on a p=E(n/2) et q=E((n-1)/2)
La Formule du BinĂ´me de NEWTON s'Ă©crira pour ce qui nous concerne :

[tex](2+\sqrt{3})^n[/tex]=[tex]\Large\sum_{i=0}^{i=n}{{n \choose i}2^{n-i}\3^{i/2}}[/tex]

Dans cette somme , tu remarqueras que si
i est PAIR alors 3^(i/2) est un ENTIER
et si
i est IMPAIR alors 3^(i/2)=RAC(3).u avec u ENTIER
Donc dans la SOMME précédente , on peut regrouper entre eux les facteurs correspondants
Ă  i PAIR et leur somme sera [tex]\Large\sum_{k=0}^{k=p}{{n \choose 2k}2^{n-2k}\3^{k}}[/tex]
et on posera cet entier Ă©gal Ă  A
puis on fait la mĂŞme chose pour les facteurs correspondants Ă  i IMPAIR et leur somme sera
RAC(3).[tex]\Large\sum_{r=0}^{r=q}{{n \choose 2r+1}2^{n-2r-1}\3^{r}}[/tex]
on posera B= [tex]\Large\sum_{r=0}^{r=q}{{n \choose 2r+1}2^{n-2r-1}\3^{r}}[/tex]

En conclusion , on aura bien [tex](2+\sqrt{3})^n[/tex]=[tex]A+B\sqrt{3}[/tex] avec A et B
entiers naturels.


Dans la foulée de ces calculs , si dans le raisonnement précédent on change [tex]\sqrt{3}[/tex] en
[tex]-\sqrt{3}[/tex] ? que se passera -t-il ????

Il se passera que A ne changera pas MAIS B se changera en -B !!!!

Autrement dit [tex](2-\sqrt{3})^n[/tex]= [tex]A-B\sqrt{3}[/tex]

Amicalement . LHASSANE
Code LaTEX 
Espace

evariste

Admin
En Ligne 
Re : exercice 06/08/2010 à 11h46
Bonjour

Merci Lhassane pour ta réponse.

Pour mth : Je dirais plutôt travailler les classiques plutôt que de les apprendre, car justement les classiques ont la particularité d'être de bons models des techniques utiles dans la résolutions d'exercices, par ailleurs pour l'orale de l'X connaître certains classiques est necessaire je te donne pour exemple la décomposition de Dunford, alors que cette dérnière ne fait pas partie du programme de cours de la reduction des endomorphismes. Le classique suivant par exemple intervient dans la résolution d'un nombre appreciable d'oraux de l'x:

Soit [tex]f: \mathbb{R+}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] une fonction uniformement continue telle que [tex]\int_0^{+\infty}f(x)dx[/tex] converge, alors [tex]f[/tex] tend vers [tex]0[/tex] quand [tex]x\rightarrow\infty[/tex]

quoique cet exercice ne fait absolument pas partie du programme, un examinateur de l'X suppose qu'un candidat à l'oral doit le connaitre. La connaissance de ce classique peut servir de façon cachée, par exemple si l'examinateur demande un exemple d'une fonction qui n'est pas uniformement continue sur [tex]\mathbb{R}[/tex] il suffit de chercher l'exemple d'une fonction tel que son integrale converge mais qui ne tend pas vers [tex]0[/tex] à l'infini, par exemple [tex]f(x)=\sin(x^2)[/tex]

Mais de là à travailler un exercice une semaine ou plus ça me parait exagéré, faute de temps bien sur, il ne faut pas oublier que pour avoir l'x ou autre ecole d'ing, il ne faut negliger aucune matiere.
je pense que passer une journée ( ou deux ) sur un bon exercice peut être bien, mais il ne faut pas le faire systématiquement.


Concernanat les livres, mon livre fétiche est "Les maths en tête" c'est une très bon exemple du compromis entre concision et rigueur, choix d'exercices, classiques et autres. il y a deux tomes, algebre et analyse, je te le conseil vivement.
Un dernier conseil, il ne faut pas attendre l'apporche des concours pour commencer Ă  travailler les concours de l'x, vaut mieux le faie Ă  fur et Ă  mesure que les cours avancent.

bien Ă  toi.
Code LaTEX 
Espace
 Diabolo-Menthe
Re : exercice 06/08/2010 à 14h37
BJR evariste !!

Merci pour ces conseils , ils valent de l'Or car ils Ă©manent de quelqu'un
1) Qui a vécu les affres des Prépas ...
2) Qui est un Brillant Lauréat de Cette 'Ecole qui suscite un Engouement Sans Limites auprès des Jeunes ...

Je me permets de les répercuter sur l'autre Forum MathsMaroc car je ne voudrais pas les en priver !!
Alors je fais un Topic Là-Bas et je te Cite d'une part et je renvoie à ce Topic-çi sur MathsLand .

Bonne Journée & Mes Bons Voeux pour Ramadan qui arrive ....

LHASSANE
Espace
 mth
Re : exercice 07/08/2010 à 00h26
bonjour MONSIEUR EVARISTE
comme a dit monsieur LHASSANE vos conseils valent de l'or merci infiniment et j'espere que je pourrai bien appliquer vos conseils;
je n'hesiterai pas Ă  proposer des exercices sur ce forum qui est
Espace
 UN ETDT en MP
Re : exercice 07/08/2010 à 05h43
bonjour , je vous remercie vivement mr hicham pour votre prestigieux conseils
je suis un eleve en spe et j aimerais bien se preparer aux concours français (Mines-ponts, central , X)
puisque vous etiez un ex elve de l X j aimerais bien si vous nous citez le nom de livre ou vous prepariez la physique et SI puis que le concours de l X comporte uneepruve qui peut etre tres difficile (physique -SI)
pour les maths , le livre "les maths en tete Ă© est un vrai porte-aide a nous surtout les annexes les methodes hors programme maisil faut les apprendre ' ex decompostion dunford , reduction de jordan reduction de frobinus et aussi th de baire ) !!!!!
j attends toujours votre reponse

PS: je veux bien vous contacter mr evariste en privéavez vous une adresse e-mail??
Espace

evariste

Admin
En Ligne 
Re : exercice 20/08/2010 à 15h03
Salut "UN ETDT en MP"

tu peux m'envoyer un mail sur ma messagerie privée de mathsland.
Ă  bientĂ´t
Espace
 ELhan
Re : exercice 26/08/2010 à 19h59
L'x prestigieuse ecole mais parfois vaut mieux s integrer une autre prestigieuse la centrale par example , petite réflexion qui me vient à l'esprit.
Il est plus "rentable" Ă©conomiquement de faire Centrale ou les Mines que l'X.
Cela s'appelle le coût d'opportunité (cf Wikipédia), une notion que les étudiants de MBA mettent parfois un an entier à apprendre (enfin, les spices... :roll: ).
X : 1 an de service mili+2ans d'Ă©cole+1 an d'application qui donnent 4 ans.
Centrale : 3 ans d'Ă©cole+1 an de vrai salaire qui donnent 4 ans

X : 25 200 € (3x12x700€) et rajoutons encore un an de solde, soit 33 600€.
Centralien : 1x40 000€, il ne bosse pas dans la finance ni le conseil mais dans l'industrie.

L'X est payé. C'est normal en 1ère année, pour son service mili. C'est largement discutable en 2e et 3e année, où cet argent (merci le contribuable) ferait mieux d'irriguer la recherche. Un budget de 7,5 millions d'euros (3 promos, 300 X par promo en minorant, à 700€/mois) ! En ces temps de rigueur budgétaire, il serait davantage avisé d'investir dans la connaissance. Et encore, je ne compte pas l'uniforme payé, la tangente pas chère, la carte mili pour les réductions...

Le Centralien n'est pas payé. Soit. Mais à la rentrée il va pouvoir s'il le souhaite être apprenti, faire le cursus en 3 ans et gagner 1 000€/mois... :wink:
Espace
Alejandro
En Ligne 
Re : exercice 26/08/2010 à 22h58
Salut ELhan .....

Je me permets de te répondre mais pas dans un quelconque but de polémiquer ....
Ce que tu nous racontes là , tu l'as glané un peu partout sur le Net et ne concerne en fait que les Français et les Candidats Français !!??
Je n'ai jamais entendu dire que les Marocains à l'X font une Année de Service Militaire , ils y dérogent de manière officielle à moins qu'ils aient accédé à l'Ecole étant FRANCAIS ( pour des raisons diverses ... Double-Nationalité ou Enfants de Ménage -Mixte comme , et c'est d'actualité , la Majorante 2010 à l'X Aicha Ben Dhia est de Père Tunisien et de Mère Française ) . S'ils ont un droit à l'Uniforme avec le Fameux Bonnet Tout Zoli ..... Ils ne défilent pas le 14 Juillet !!

Pour les problèmes de dépenses , elles sont du ressort du Gouvernement Français et celà ne nous concerne pas ...

Avec Mes Amitiés . Alejandro

PS : Excusez si Mon Post fait un peu POLLUTION ......
Voir ICI : http://fr.excelafrica.com/showthread.php?t=11499
Espace
HBL
Hors Ligne 
Re : exercice 27/08/2010 à 17h34
SAlam ! ce que vous dites a propos de l X et la centrale est très intéressant ! mais vous ne voyez qu'on a un peu gonflé les choses ? qu est ce que signifie " être un Polytechnicien ou centralien etc " par rapport un ingénieur issue d une autre école qui peut etres " EMI , EHTP , ENSIMAG ou ENS)
pour cela j ai fais une toute petite recherche sur trois types de métier toutes issues de CPGE
le 1er Un polytechnicien avec un Master a MIT
le 2eme Un ingénieur en génie civile issue de L EHTP
le 3eme Un professeur agrégé de mathematque en CPGE issue de L ENS ( ULM ou fes )

mon etude consiste a analyser la salaire , la vieet le repos etc

Polytechnicien
il a passé 4 ans en X meilleurs jours ou il porte l uniforme avec le bonnet etc
il bosse maintenant dans une banque " Societe general" un cadre de finance
il a pour salaire 6000 euros et il vit a paris
ce polytechnicien est obligé de vvire en luxe il depense plus 4500 euros par mois pour les besoins de luxe "" appartement + climatisation+ voiture etc "
il a qu un mois par an de vaccance il n a ja mais passé ni aid kbir ni seghir ni ramadan avec ses parants et meme il n jamais eu qlq jours pour les feté lui seul il toujours en travail
apres 5 ans de bosse il se marie avec une française ou mrocainne qui habite ne france puis il oublie for ever son pays natal
EHTP man
il est d origine de midelt il bosse dans chantier a casa
il a pour salaire 15000dh ; il veint de acheter une voiture puis une appartement a casa donc il lui reste 8000 dh par mois ................ il se reveille chaque jour a 5h du matin et il revient a 22h
il n a qu un mois de repos par an !!!!!!!!!!!!!!!!!!! et le meme probleme du l AID
le professeur
celui est le plus chanceux !!!
il passé ses annee a l ENS soit de fes ou ULM cachan etc
il est maintenant un prof a MED V casa
il achete une appartement a beux-sejours et une modeste voiture " renault chamade"
il est en echelle 11 il a pour salaire 9000dh ( par example)
il passe 14 heurs par semaine a med V puis une 2*14heurs dans 2 autres cpge privé
il peut boire son café et fumer sa cigarette n importe quand et aussi voire les match "de foot :)
et sans oublier 2heurs par jours des cours particuliers ce qui rend son salire
(900+2*4000+3000)dh =!!!! ( cest d apres mon grand frere , il est un prof a casa)


******** donc on conclure que le prestige de l X n est etrnel un jour on vas regreté
alors la bonne idee est de faire l ens mais la française est inaccessible :s mais les autres du maroc non !
j attends vos remarque

(
Espace
Alejandro
En Ligne 
Re : exercice 28/08/2010 à 00h11
BSR HBL !!

J'ai lu avec intérêt tes reflexions ... Certaines sont très pertinentes , une seule concernant le métier d'enseignant me parait être très réductrice de ce métier qui est malheureusement dévalorisé et qui est devenu un foyer pour des gens qui sont pour le moins ripoux et véreux !!!
Il est vrai qu'un Prof Agrégé de Prépa qui bâcle complètement son service au public et se prostitue à droite et à gauche à donner des Cours Particuliers au prix fort ou dans le Privé devient très rapidement riche ..... Mais au détriment de qui ? et de quoi ?
Je n'appelle pas celĂ  la REUSSITE SOCIALE .....

Par ailleurs , je voulais rajouter à tes Propos sur l'X , Centrale ou Ponts & Chaussées ...
Nos Jeunes de chez Nous ignorent sans doute quelquechose d'ignoble et dégoutant !!!
Si l'accès à ces prestigieuses Ecoles est réputé difficile , la carrière voire l'opportunité de Job peut se révèler une catastrophe . En effet , ICI chez Nous comme en France du reste , il y a ce qu'on appelle le RESEAUTAGE c'est à dire que pour trouver un Bon Job avec ascension rapide il faut :

1) Porter un NOM qui sonne bien dans les Oreilles de Certains ,
2) Etre COOPTE par le RESEAU ....

Je connais quelques X , Hyper-Compétents , qui sont dans la Banque ( travaillant en Back-Office dans les Fonds d'Investissement et Placements Financiers à l'International ) mais sans aucune perspective d'ascension ....
Alors que d'autres sont à la tête , très rapidement de Grosses Institutions Publiques ou Privées avec à la clé un Gros Parachute Doré lors du Largage ....... Il suffit d'OUVRIR les YEUX .....

Comprenne Qui Voudra !!

Amicalement . Alejandro
Espace
HBL
Hors Ligne 
Re : exercice 28/08/2010 à 03h59
bonsoir merci pour votre remarque monsieur Alejandro ;)
j aime bcp le metier de professeur ce n est pas un crime si on fait des cours particuliers dans le secteur privé sionon on aurra jamais un nom " secteur d enseignement privé"
je suis une Mlle en spe inchalah a paris " Henri IV" tout ce que je pense a faire apres la Taupe c est L ens ( cachan lyon ou ulm ) mais vous savez le concours acces est tres dur
je pense pas a faire une 5\2 !!
dites moi j ai le droit de faire ens marocaine sachant que je ss marocaine et j ai un bacc marocain " mission"
merci d avance
Espace
Alejandro
En Ligne 
Re : exercice 28/08/2010 à 12h57
BJR Houda ....

Si tu veux , on passe en MP afin de laisser ce Topic de salima en l'état ; sachant qu'elle a déjà obtenu des réponses pertinentes à ses questions ....

A+++
Alejandro
Espace
Sujet verrouilé par Vous êtes sur l'ancien Forum. Celui-ci est fermé. Cliquer ici pour accéder au nouveau Forum