soit f une fonction dérivable et sa dérivée est continue sur[tex][a,b][/tex]avec [tex]a<b[/tex]o suppose que [tex]\Large \int_{a}^{b}f^4(x)dx=\Large \int_{a}^{b}f^3(x)dx=\Large \int_{a}^{b}f^2(x)dx[/tex]montrer que f est constante sur[tex][a,b][/tex]
NB [tex]f^2(x)=f(x)f(x)[/tex]

bonsoir


puisqu'il s agit d un concours on donne de l'aide sans trop attendre ...

Je te propose ce qui suit :

[tex]\bullet[/tex] developpe : [tex](f^2-f)^2[/tex]

[tex]\bullet[/tex] integre l'egalité obtenue.

[tex]\bullet[/tex] utilise le fait que si [tex]\int_a^b f(x) dx =0[/tex] et [tex]f \geq 0[/tex] sur [tex][a,b][/tex] alors [tex]f[/tex] est nulle sur [tex][a,b][/tex] .

[tex]\bullet[/tex] fait attention car si une fonction [tex]f[/tex] verifie [tex]f(x)(f(x)-1)[/tex] pour tout [tex]x \in [a,b][/tex] alors rien ne permet de dire que [tex]f[/tex] est constante ......mais si on sait en plus que [tex]f[/tex] est continue alors là .....



j'epére que ces indications te soient suffisantes ...

salut Mr
dans la 4eme proposition [tex]f [/tex]vérifie quoi?

Bonjour:

demontre ce qui suit :
si [tex]f[/tex] est une fonction continue sur un intervalle [tex]I[/tex] et si : [tex]\bf (1) \quad \quad \forall x \in I \quad f(x)(f(x)-1)=0 [/tex] alors [tex]f[/tex] est constante sur [tex]I[/tex]



remarquons , à l'occasion de cette question , que la fonction [tex]f[/tex] définie sur [tex][0,1][/tex]
par : [tex]f(x)=1[/tex] si [tex]0 \leq x \leq \frac{1}{2}[/tex] et [tex]f(x)=0[/tex] si [tex]\frac{1}{2}< x \leq 1[/tex] verifie [tex](1)[/tex] ci-dessus alors qu'elle n'est pas constante ...

salut Mr
ona a[tex]\Large \int_{a}^{b}(f^2(x)-f(x))^2dx=\Large \int_{a}^{b}f^4(x)+f^2(x)-2f^3(x)dx[/tex]
or ona [tex]\Large \int_{a}^{b}f^4(x)dx=\Large \int_{a}^{b}f^3(x)dx=\Large \int_{a}^{b}f^2(x)dx[/tex]
d'ou[tex]\Large \int_{a}^{b}(f^2(x)-f(x))^2dx=0[/tex]et on a[tex] (f^2(x)-f(x))^2 \geq 0[/tex]
donc [tex](f^2(x)-f(x))^2=0 \Leftrightarrow(f^2(x)-f(x))=0 \Leftrightarrow f(x)(f(x)-1)=0[/tex] donc [tex]f(x) =0 [/tex] ou [tex]f(x)=1 [/tex]
d'ou [tex]f[/tex] est constante

bonsoir, concernant le contre exemple de Mr mohamed, ce qui manque c'est l'ypothèse de la continuité de [tex]f[/tex]sur [tex][0,1][/tex]. c-à-d c'est la continuité qui résoud de passage le problème.

Bonsoir

C'est ce que je ne voulais pas que tu fasse iyad : conclure sans preuve que

la fonction [tex]f[/tex] est constante ....

C'est la continuité de [tex]f[/tex] qui permet de prouver qu'ell est constante

Ton travaille n'est pas alors achevé


Je t'invite à examiner le contre exemple en haut ... pour voir le rôle de la continuité
Me Laklakh vient de mettre le point dessus



Pour te faciliter la tàche je te reformule ici la question séparément :


Soit [tex]f[/tex] un fonction continue sur un intervalle [tex]I[/tex] telle que : [tex]f(x)(f(x)-1)=0[/tex] pour tout [tex]x \in I[/tex] .
Prouver que [tex]f[/tex] est constante .

bonsoir
puisqu'il s'agit d'un concours , j'aimerai éclaircir tout de suite

ce point :


si [tex]f[/tex] est continue sur [tex]I[/tex] et verifie : [tex]\bf (1) \quad \quad \forall x \in I \quad f(x)(f(x)-1)=0[/tex] alors les seules valeurs possibles
de [tex]f[/tex] sont [tex]0[/tex] et [tex]1[/tex] .
si [tex]f[/tex] n'est pas constante alors : il existe [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] élément de [tex]I[/tex] tel que : [tex]f(u)=0[/tex] et [tex]f(v)=1[/tex] .

si [tex]u<v[/tex] alors : [tex][u,v] \subset I[/tex] par conséquent [tex]f[/tex] est continue sur
le segment [tex][u,v][/tex] et comme [tex]0 < \frac{1}{2} < 1[/tex] , on a par le théorème
des valeurs intérmédiaires : il existe [tex]c[/tex] réel entre [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] tel que [tex]f(c) =\frac{1}{2}[/tex] , ce qui est une
contradiction avec l'hypothése [tex](1)[/tex] ci-dessus sur [tex]f[/tex] .

si [tex]u>v[/tex] on reprends le même raisonnement sur le segment [tex][v,u][/tex] .

Conclusion : [tex]f[/tex] est constante sur [tex]I[/tex] de valeur [tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex]

==========

on peut donner un résulatat plus général :


si [tex]f[/tex] est continue sur un intervalle non vide [tex]I[/tex] et si [tex]f[/tex] ne prends qu'un nombre
fini de valeurs alors elle est constante [tex]I[/tex] .



=======

on peut aller plus loin dans la généralisation :

si [tex]f[/tex] est continue sur un intervalle non vide [tex]I[/tex] et si [tex]f[/tex] vérifie la

condition suivante : [tex]\bf \large (2) \quad \quad \forall x \in I \quad \exists \alpha > 0 \quad f(I) \cap ]f(x)-\alpha , f(x)+\alpha[ = \{f(x) \}[/tex]

alors [tex]f[/tex] est constante sur [tex]I[/tex] .

bonsoir je suis ilias de l'ensam . est ce que vous etes de l'ensam ? premier année? quelle section?