Logo-de-mathsland.com
iyad
En Ligne 
ensam 2008 22/07/2008 à 22h04
soit f une fonction dérivable et sa dérivée est continue sur[tex][a,b][/tex]avec [tex]a<b[/tex]o suppose que [tex]\Large \int_{a}^{b}f^4(x)dx=\Large \int_{a}^{b}f^3(x)dx=\Large \int_{a}^{b}f^2(x)dx[/tex]montrer que f est constante sur[tex][a,b][/tex]
NB [tex]f^2(x)=f(x)f(x)[/tex]
Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : ensam 2008 23/07/2008 à 00h34
bonsoir


puisqu'il s agit d un concours on donne de l'aide sans trop attendre ...

Je te propose ce qui suit :

[tex]\bullet[/tex] developpe : [tex](f^2-f)^2[/tex]

[tex]\bullet[/tex] integre l'egalité obtenue.

[tex]\bullet[/tex] utilise le fait que si [tex]\int_a^b f(x) dx =0[/tex] et [tex]f \geq 0[/tex] sur [tex][a,b][/tex] alors [tex]f[/tex] est nulle sur [tex][a,b][/tex] .

[tex]\bullet[/tex] fait attention car si une fonction [tex]f[/tex] verifie [tex]f(x)(f(x)-1)[/tex] pour tout [tex]x \in [a,b][/tex] alors rien ne permet de dire que [tex]f[/tex] est constante ......mais si on sait en plus que [tex]f[/tex] est continue alors lĂ  .....



j'epére que ces indications te soient suffisantes ...
Code LaTEX 
Espace
iyad
En Ligne 
Re : ensam 2008 23/07/2008 à 13h01
salut Mr
dans la 4eme proposition [tex]f [/tex]vérifie quoi?
Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : ensam 2008 23/07/2008 à 16h36

Bonjour:

demontre ce qui suit :
si [tex]f[/tex] est une fonction continue sur un intervalle [tex]I[/tex] et si : [tex]\bf (1) \quad \quad \forall x \in I \quad f(x)(f(x)-1)=0 [/tex] alors [tex]f[/tex] est constante sur [tex]I[/tex]



remarquons , à l'occasion de cette question , que la fonction [tex]f[/tex] définie sur [tex][0,1][/tex]
par : [tex]f(x)=1[/tex] si [tex]0 \leq x \leq \frac{1}{2}[/tex] et [tex]f(x)=0[/tex] si [tex]\frac{1}{2}< x \leq 1[/tex] verifie [tex](1)[/tex] ci-dessus alors qu'elle n'est pas constante ...
Code LaTEX 
Espace
iyad
En Ligne 
Re : ensam 2008 23/07/2008 à 20h10
salut Mr
ona a[tex]\Large \int_{a}^{b}(f^2(x)-f(x))^2dx=\Large \int_{a}^{b}f^4(x)+f^2(x)-2f^3(x)dx[/tex]
or ona [tex]\Large \int_{a}^{b}f^4(x)dx=\Large \int_{a}^{b}f^3(x)dx=\Large \int_{a}^{b}f^2(x)dx[/tex]
d'ou[tex]\Large \int_{a}^{b}(f^2(x)-f(x))^2dx=0[/tex]et on a[tex] (f^2(x)-f(x))^2 \geq 0[/tex]
donc [tex](f^2(x)-f(x))^2=0 \Leftrightarrow(f^2(x)-f(x))=0 \Leftrightarrow f(x)(f(x)-1)=0[/tex] donc [tex]f(x) =0 [/tex] ou [tex]f(x)=1 [/tex]
d'ou [tex]f[/tex] est constante
Code LaTEX 
Espace
laklakh el houssine
Hors Ligne 
Re : ensam 2008 23/07/2008 à 21h35
bonsoir, concernant le contre exemple de Mr mohamed, ce qui manque c'est l'ypothèse de la continuité de [tex]f[/tex]sur [tex][0,1][/tex]. c-à-d c'est la continuité qui résoud de passage le problème.
Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : ensam 2008 24/07/2008 à 00h42

Bonsoir

C'est ce que je ne voulais pas que tu fasse iyad : conclure sans preuve que

la fonction [tex]f[/tex] est constante ....

C'est la continuité de [tex]f[/tex] qui permet de prouver qu'ell est constante

Ton travaille n'est pas alors achevé


Je t'invite à examiner le contre exemple en haut ... pour voir le rôle de la continuité
Me Laklakh vient de mettre le point dessus



Pour te faciliter la tàche je te reformule ici la question séparément :


Soit [tex]f[/tex] un fonction continue sur un intervalle [tex]I[/tex] telle que : [tex]f(x)(f(x)-1)=0[/tex] pour tout [tex]x \in I[/tex] .
Prouver que [tex]f[/tex] est constante .


Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : ensam 2008 26/07/2008 à 00h28

bonsoir
puisqu'il s'agit d'un concours , j'aimerai Ă©claircir tout de suite

ce point :


si [tex]f[/tex] est continue sur [tex]I[/tex] et verifie : [tex]\bf (1) \quad \quad \forall x \in I \quad f(x)(f(x)-1)=0[/tex] alors les seules valeurs possibles
de [tex]f[/tex] sont [tex]0[/tex] et [tex]1[/tex] .
si [tex]f[/tex] n'est pas constante alors : il existe [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] élément de [tex]I[/tex] tel que : [tex]f(u)=0[/tex] et [tex]f(v)=1[/tex] .

si [tex]u<v[/tex] alors : [tex][u,v] \subset I[/tex] par conséquent [tex]f[/tex] est continue sur
le segment [tex][u,v][/tex] et comme [tex]0 < \frac{1}{2} < 1[/tex] , on a par le théorème
des valeurs intérmédiaires : il existe [tex]c[/tex] réel entre [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] tel que [tex]f(c) =\frac{1}{2}[/tex] , ce qui est une
contradiction avec l'hypothése [tex](1)[/tex] ci-dessus sur [tex]f[/tex] .

si [tex]u>v[/tex] on reprends le mĂŞme raisonnement sur le segment [tex][v,u][/tex] .

Conclusion : [tex]f[/tex] est constante sur [tex]I[/tex] de valeur [tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex]

==========

on peut donner un résulatat plus général :


si [tex]f[/tex] est continue sur un intervalle non vide [tex]I[/tex] et si [tex]f[/tex] ne prends qu'un nombre
fini de valeurs alors elle est constante [tex]I[/tex] .



=======

on peut aller plus loin dans la généralisation :

si [tex]f[/tex] est continue sur un intervalle non vide [tex]I[/tex] et si [tex]f[/tex] vérifie la

condition suivante : [tex]\bf \large (2) \quad \quad \forall x \in I \quad \exists \alpha > 0 \quad f(I) \cap ]f(x)-\alpha , f(x)+\alpha[ = \{f(x) \}[/tex]

alors [tex]f[/tex] est constante sur [tex]I[/tex] .


Code LaTEX 
Espace
spears
Hors Ligne 
Re : ensam 2008 12/10/2008 à 01h31
bonsoir je suis ilias de l'ensam . est ce que vous etes de l'ensam ? premier année? quelle section?
Espace
Sujet verrouilé par Vous êtes sur l'ancien Forum. Celui-ci est fermé. Cliquer ici pour accéder au nouveau Forum