Dr Red1
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Comprendre une démonstration |
30/01/2012 à 14h29 |
Salut Forum !
S'il vous plait, j'aimerais bien que vous m'aidiez à comprendre les étapes de la démonstration de ce théorème .
Montrer que : [tex]\dim(F)+dim(F)^{\perp}=dim(E)+dim(F\cap\ker\Large\varphi)[/tex]
La démonstration :
tout d'abord, on a pris une base [tex]\(e_{1},....,e_{k})[/tex] de [tex]\,F\cap\ker\Large\varphi[/tex] après on la compléte en une base [tex]\(e_{k+1},....,e_{p})[/tex] de[tex]F[/tex] . Alors, [tex]x[/tex] est dans[tex]F^{\perp}[/tex] ssi [tex]\Large\varphi(x.e_{i})=0[/tex] pour [tex]i\small\in\{k+1,..,p}[/tex]
Ces [tex]p-k[/tex] équations linéaires sont indépendantes car:
[tex]{\Large\sum_{i=k+1}^{i=p}{\large\alpha_{i}}{\large\varphi(.,e_{i})}}=0[/tex] =>[tex]{\Large\sum_{i=k+1}^{i=p}{\large\alpha_{i}}{e_{i}}}\small\in{ker\Large\varphi}[/tex] . Donc les [tex]\large\alpha_{i}[/tex] sont nuls.
Donc [tex]x[/tex] est dans[tex]F{\perp}[/tex] ssi [tex]x[/tex] vérifie ces [tex]p-k[/tex] équations indépendantes :
[tex]\dim(F)^{\perp}=dim(E)-(p-k)=dim(E)-dim(F)+dim(F\cap\ker\Large\varphi)[/tex]
d'où le résultat !
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Cette démonstration je crois l'avoir trouvé sur internet !
J'aurais bien aimé poser mes questions au prof dans la classe mais on ne fait pas les démos par contre on les donne dans les exams ... !
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Dr Red1
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Re : Comprendre une démonstration |
03/02/2012 à 19h21 |
Personne :( |
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mathematitien-expert
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Re : Comprendre une démonstration |
06/02/2012 à 16h54 |
Salut
vous n'avez pas défini [tex]\varphi[/tex] , veuillez éclaircir votre énoncé un petit peu s'il vous plait
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Code LaTEX |
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Mohamed
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Re : Comprendre une démonstration |
07/02/2012 à 01h06 |
Salut,
Effectivement, l'énoncé est ambigu!
Il n'y a pas que cela: il n'a pas parlé de quelle orthogonalité s'agit il .
Est ce un produit scalaire ou juste une forme bilinéaire quelconque ou quoi ?
Il faut donc un énoncé complet dans lequel on précise :
- Le corps de base
- c'est quoi [tex]E[/tex] ?
- C'est quoi [tex]F[/tex] et [tex]\varphi [/tex]? |
Code LaTEX |
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Dr Red1
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Re : Comprendre une démonstration |
12/02/2012 à 17h50 |
Re !
Désolé pour le retard .
[tex]E[/tex] est un [tex]\mathbb{K}[/tex] espace vectoriel .
[tex]F[/tex] est un sous espace vectoriel de [tex]E[/tex].
[tex]{F\perp}=[x\in{E} /\forall{y}\in{F},\varphi(x,y)=0][/tex]
Pour l'orthogonal de F, j'ai essayé d'écrire l'ensemble entre deux accolades mais ça n'a pas marché et je les ai remplacé par deux crochets !!
Merci ! |
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mathematitien-expert
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Re : Comprendre une démonstration |
12/02/2012 à 19h02 |
Salut chers matheux !!
Mr Dr Red1 vous n'avez pas encore défini [tex]\varphi[/tex] |
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Mohamed
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Re : Comprendre une démonstration |
12/02/2012 à 19h28 |
Salut
et [tex]\mathbb K[/tex] ! |
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Dr Red1
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Re : Comprendre une démonstration |
17/02/2012 à 11h14 |
Reeee !
Dsl encore une fois pour le retard !
Je n'ai fait qu'à copier la démonstration ... S'il y'a une démonstration concernant ce théorème, prière de ma la donner ...
A+
Amicalement |
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