Salut Forum !

S'il vous plait, j'aimerais bien que vous m'aidiez à comprendre les étapes de la démonstration de ce théorème .

Montrer que : [tex]\dim(F)+dim(F)^{\perp}=dim(E)+dim(F\cap\ker\Large\varphi)[/tex]
La démonstration :
tout d'abord, on a pris une base [tex]\(e_{1},....,e_{k})[/tex] de [tex]\,F\cap\ker\Large\varphi[/tex] après on la compléte en une base [tex]\(e_{k+1},....,e_{p})[/tex] de[tex]F[/tex] . Alors, [tex]x[/tex] est dans[tex]F^{\perp}[/tex] ssi [tex]\Large\varphi(x.e_{i})=0[/tex] pour [tex]i\small\in\{k+1,..,p}[/tex]
Ces [tex]p-k[/tex] équations linéaires sont indépendantes car:
[tex]{\Large\sum_{i=k+1}^{i=p}{\large\alpha_{i}}{\large\varphi(.,e_{i})}}=0[/tex] =>[tex]{\Large\sum_{i=k+1}^{i=p}{\large\alpha_{i}}{e_{i}}}\small\in{ker\Large\varphi}[/tex] . Donc les [tex]\large\alpha_{i}[/tex] sont nuls.
Donc [tex]x[/tex] est dans[tex]F{\perp}[/tex] ssi [tex]x[/tex] vérifie ces [tex]p-k[/tex] équations indépendantes :
[tex]\dim(F)^{\perp}=dim(E)-(p-k)=dim(E)-dim(F)+dim(F\cap\ker\Large\varphi)[/tex]
d'où le résultat !

-----------------
Cette démonstration je crois l'avoir trouvé sur internet !
J'aurais bien aimé poser mes questions au prof dans la classe mais on ne fait pas les démos par contre on les donne dans les exams ... !

Personne :(

Salut
vous n'avez pas défini [tex]\varphi[/tex] , veuillez éclaircir votre énoncé un petit peu s'il vous plait

Salut,

Effectivement, l'énoncé est ambigu!
Il n'y a pas que cela: il n'a pas parlé de quelle orthogonalité s'agit il .
Est ce un produit scalaire ou juste une forme bilinéaire quelconque ou quoi ?

Il faut donc un énoncé complet dans lequel on précise :
- Le corps de base
- c'est quoi [tex]E[/tex] ?
- C'est quoi [tex]F[/tex] et [tex]\varphi [/tex]?

Re !

Désolé pour le retard .

[tex]E[/tex] est un [tex]\mathbb{K}[/tex] espace vectoriel .
[tex]F[/tex] est un sous espace vectoriel de [tex]E[/tex].
[tex]{F\perp}=[x\in{E} /\forall{y}\in{F},\varphi(x,y)=0][/tex]

Pour l'orthogonal de F, j'ai essayé d'écrire l'ensemble entre deux accolades mais ça n'a pas marché et je les ai remplacé par deux crochets !!


Merci !

Salut chers matheux !!
Mr Dr Red1 vous n'avez pas encore défini [tex]\varphi[/tex]

Salut

et [tex]\mathbb K[/tex] !

Reeee !

Dsl encore une fois pour le retard !

Je n'ai fait qu'à copier la démonstration ... S'il y'a une démonstration concernant ce théorème, prière de ma la donner ...

A+
Amicalement