On se donne [tex] A[/tex] et [tex]B[/tex] dans [tex]{\mathcal M}_n({\mathbb C}).[/tex] On note [tex]C=AB-BA.[/tex] On suppose que [tex]C[/tex] commute avec [tex]A[/tex] et avec [tex]B.[/tex] Montrer que [tex]C[/tex] est nilpotente.

Bonjour ,

[tex]\fbox{1}[/tex] on commence par montrer que : [tex]\forall p\in\mathbb{N}^*\;,\;C^p=ABC^{p-1}\;-\;BC^{p-1}A[/tex]

par récurrence :

[tex]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\bullet[/tex] c'est clairement vrai pour [tex]p=1[/tex] . (avec bien entendu la convention [tex]C^0=I_n[/tex] )

[tex]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\bullet[/tex] [tex]C^{p+1}=C^pC=[ABC^{p-1}\;-\;BC^{p-1}A]C=ABC^p\;-\;BC^pA[/tex] . (car [tex]C[/tex] commute avec [tex]A[/tex])


On déduit alors que : [tex]\fbox{\forall p\in\mathbb{N}^*\;,\;Trace(C^p)=0}[/tex] .


[tex]\fbox{2}[/tex] on écrit : [tex]C=Q^{-1}TQ[/tex] avec [tex]T[/tex] triangulaire (résultat du cours)

et on a donc [tex]\fbox{\forall p\in\mathbb{N}^*\;,\;Trace(T^p)=0}[/tex]

ce qui s'écrit , en désignant par [tex]\lambda_1,...,\lambda_n[/tex] les coefficients diagonaux de [tex]T[/tex] ,

[tex]\fbox{\forall p\in\mathbb{N}^*\;,\;\lambda_1^p+...+\lambda_n^p=0}[/tex]


[tex]\fbox{3}[/tex] à partir de là il n'est pas difficile de montrer que [tex]\fbox{\lambda_1=...=\lambda_n=0}[/tex]

et puis que [tex]\fbox{T^n=C^n=0}[/tex] . (sauf erreur bien entendu)