soient E un K-ev et F et G des sev de E.
montrer que si FUG=E alors F=E et G= E

BJR au Forum .
BJR sqrt !!

J'ai deux réflexions à faire concernant ton énoncé ....

1) Il y a une ERREUR de connecteur logique ici :
<< montrer que si FUG=E alors F=E et G= E >>

Ce serait plutôt :

<< montrer que si FUG=E alors F=E OU G= E >>

2) Ton résultat en fait est connu pour le cas des GROUPES .

Si {G;T} est un groupe et si H et K sont deux sous-groupes de G alors
si HUK est un sous-groupe de G alors H et K sont EMBOITES c'est à dire que l'un des deux sous-groupes H OU K contient l'autre ( i.e on a soit H inclus dans K , soit l'inverse .... )

Ici ... FUG =E donc FUG est un sous-groupe de {E,+} il en résultera que F et G sont emboités donc FUG est soit F , soit G d'ou on aura F=E OU G=E et c'est tout ......


Amicalement . LHASSANE

bonsoir,

merci pour la réponse Mr ELHASSANE mais comment démontrer cette proposition parcequ'elle ne figure pas dans le programme.
merci d'avance

BSR sqrt !!

Voilà , je te renvoie à ce Lien :

http://mathsmaroc.jeun.fr/t15397-l-union-de-deux-sous-groupes

C'est traité là et Oeil_de_Lynx c'est moi-même ....

Amicalement . LHASSANE

BJR au Forum .
BJR sqrt !!

Voilà , tu veux prouver ceci :
<< soient E un K-ev et F et G des sev de E.
montrer que si FUG=E alors F=E OU G= E >>

On va procéder par l'absurde , supposons la Conclusion FAUSSE c'est à dire :
F<>E ET G<>E

Donc il existera deux vecteurs u et v dans E tels que u n'appartienne pas à F et v n'appartienne pas à G .

Considérons maintenant le vecteur w=u+v , il est dans E=FUG , donc :

1) S'il est dans F alors puisque v est dans F\G alors w-v=u serait dans F puisque F est un s.e.v de E
Ce qui contradictoire avec le choix de u .

2) S'il est dans G alors puisque u est dans G\F , w-u=v serait dans G puisque G est un s.e.v de E
Ce qui contradictoire avec le choix de v .

Par conséquent on a bien la conclusion << F= E OU G= E >> .

En fait ton résulat n'est qu'un cas particulier de celui-ci :

<< soient E un K-ev de référence et F et G des sev de E.
montrer que si FUG est un K-sev de E alors F contient G OU G contient F >>

Amicalement . LHASSANE

merci!!!!!! j'ai deux démo ici !!en effet oeil de lynx est une jolie expression , je vais relire la démo et la refaire, en cas de lacune je vais vous poster un message.

En fait, j'aime votre style d'intervention, vous faites apparaitre les maths comme une langue , il devient plus concret avec vos expression, j'ai remarqué que vous employez moins de formules, votre maths est loin et différent qu'on nous enseignent à l'école ,autant qu'un étudiant j'ai l'honneur de se communiquer avec vous et je souhaite bien apprendre un peu de votre vue sur les maths ainsi que vos réflexions.

merci.

BJR au Forum .
BJR sqrt !!

Merci beaucoup pour tes propos sympathiques .
Il faut dire que ce fut mon métier que d'enseigner ...... et qu'enfin j'écris comme je parle .
Dans ma vie professionnelle , j'ai beaucoup plus parlé qu'écrit et donc agir de cette manière est devenu avec le temps une seconde nature !!!

Amicalement . LHASSANE

je veux me vérifier si cette démonstration de ce théoréme est correcte :

soit G une famille génératrice de E. Une famille X d'éléments de E est génératrice de E si, et seulement si, tout élément de G est combinaison linéaire des éléments de X.

voir la démo

http://img210.imageshack.us/img210/4371/photo041m.jpg

http://img204.imageshack.us/img204/1670/photo040t.jpg

M€rci.

Bonjour au forum,

Bonjour Sqrt ,


Pour [tex] \Rightarrow [/tex]

Soit [tex]e \in G[/tex] , en particulier [tex]e \in E [/tex] ,

posons [tex] X = \{x_{1},....,x{n}\} [/tex]

[tex] E= Vect (X) \Rightarrow \forall a\in E ,\exists (\alpha_{1},..,\alpha_{n} )\in IK^{n}, , a =\Large \sum_{k=1}^{k=n}{\alpha_{k} x_{k}}[/tex]

[tex] \Rightarrow \exists (\alpha_{1},..,\alpha_{n}) \in IK^{n}, e= \Large \sum_{k=1}^{k=n}{\alpha_{k} x_{k}} [/tex]

alors tout element de G s'ecrit comme combinaison lineaire des elements de X.



Pour [tex] \Leftarrow [/tex]


Soit[tex] e \in E [/tex]

Posons [tex] G = \{ g_{1},...,g_{m}\} [/tex]


[tex] E= Vect(G) \Rightarrow \exists (\beta_{1},..,\beta_{m}) \in IK^{m}, e= \Large \sum_{k=1}^{k=m}{\beta_{k} g_{k}}[/tex]

d'autre part

tout element de G s'ecrit comme combinaison lineaire des elements de [tex] X \Rightarrow [/tex]

[tex] \forall p\in [1,m] \exists (\alpha_{p_{1}},..,\alpha_{p_{n}}) \in IK^{n}, g_{p}= \Large \sum_{k=1}^{k=n}{\alpha_{p_{k}}x_k}[/tex]

[tex] \Rightarrow e = \Large \sum_{k=1}^{k=n}{ (\Large \sum_{p=1}^{p=m}{ \alpha_{p_{k}}\beta_{p}) x_{k}} [/tex]


D'ou [tex] e = \Large \sum_{k=1}^{k=n}{\lambda_{k} x_{k}} [/tex] avec [tex] \lambda_{k} =\Large \sum_{p=1}^{p=m}{} \alpha_{p_{k}}\beta_{p} [/tex]

[tex] \Rightarrow [/tex] [tex] E =Vect (X) [/tex]

pour l'avant dernier ligne [tex] \lambda_{k} =\Large \sum_{p=1}^{p=m}{} \alpha_{p_{k}}\beta_{p} [/tex]
je trouve cela illogique , parce que lamda est une vecteur alors e c'est sigma (d'une vecteur *vecteur) ??

Bonsoir sqrt,

Lambda est un scalaire du K ( ca peut etre IR, ou C ), il n'est pas un vecteur

ah oui je vois mnt