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simo123
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DĂ©monstration du thĂ©orème spectral 25/01/2013 à 22h31
Salut ,Je vous propose deux démonstrations d'un lemme pour démontrer le fameux théorème spectral à savoir celui disant que tout endomorphisme d'un E (espace soit euclidien soit préhilbertient ) admet au moins une valeur propre réelle .Le problème ,c'est que l'une est très simple ,par contre l'autre utilise des résultats plus approfondis (et elle est tiré d'un livre très fameux ) donc voici les deux démonstrations :
Merci .
preuve_simple.PNG  (87 k)
Preuve_moins_simple.PNG  (34 k)
Espace
Mohamed
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Re : DĂ©monstration du thĂ©orème spectral 25/01/2013 à 23h49
Salut
Salut simo123!
je suis content de ton inscription ( ce qui a permis de résoudre le problème d'envoi de fichiers).
Ta suggestion est très interessante à mon avis.
je te propose une troisiéme méthode qui sert à démontrer directement le théorème spéctral ou si tu veux l'utiliser aussi pour démontrer le lemme ...
[tex]\bullet[/tex] Le cas réel :
Raisonnement par récurrence sur la dimesnion [tex]n[/tex] de [tex]E[/tex].
Si [tex]n=1[/tex] : immédiat
(on n'est pas obligé théoriquement de prouver la propriété pour [tex]n=2[/tex] maison en aura besoin pour l'hérédité)
n=2 Soit [tex]A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\b&d\end{array}\right)[/tex] une matrice carré réelle symétrique de taille [tex]2[/tex]. Son polynôme caractéristique est [tex]\chi_A=X^2-(a+d)X+(ad-b^2)[/tex] dont le discriminant est [tex]\Delta=(a+d)^2-4ad+4b^2=(a-d)^2 + (2b)^2[/tex] donc [tex]\Delta \geq 0[/tex] et s'annule si et seulement si [tex]a=d\,\text{et}\, b=0[/tex] auquel cas la matrice [tex]A[/tex] devient diagonale. Quand [tex]\Delta > 0[/tex],la matrice [tex]A[/tex] est diagonalisable car son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.
Pour l'hérédité : on va utiliser un résultat interessant sont la preuve est accessible.
Peoposition :
Soit [tex]E[/tex] un espace vectoriel réel de dimension [tex]n \geq 1[/tex]. Alors tout endomorphiseme [tex]u[/tex] de [tex]E[/tex] admet une droite ou un plan stable.
On utilise ce résultat et le fait que si [tex]E[/tex] est un espace euclidien et [tex]u [/tex] est un endomorphisme symétrique de [tex]E[/tex] alors si [tex]F[/tex] est un sopus-espace vectoriel de [tex]E[/tex] stable par [tex]u [/tex] alors [tex]F^{\bot}[/tex] est stable par [tex]u[/tex]
[tex]\bullet[/tex] LE cas complexe (matrice hermitienne)
même démarche sauf que la propositionci-dessus se simplifie ... [tex]E[/tex] admet toujours une droite stable.

Je te propose aussi de conculter ce fichier hébérgé dans mon site qui traite la décomposition polaire : in moment donné on a besoin du théorème spéctral.
Code LaTEX 
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simo123
En Ligne 
Re : DĂ©monstration du thĂ©orème spectral 26/01/2013 à 01h51
Salut
- Salut mr Mohamed merci infiniment et moi aussi je suis content de faire partie de ce magnifique groupe.Et maintenant que le problème d'envoi des fichiers est résolu ,désormais je n'ai plus aucune raison de ne pas partager mes questions avec vous .

- Concernant la méthode que vous avez proposée ,je la trouve originale !et surtout la proposition permettant de démontrer l'hérédité .J'ajoute que grace à cette proposition ,on peut facilement voir comment réduire d'autres types d'endomorphismes ,par exemple des endomorphismes normaux (tq l'adjoint et l'endomorphisme commutent).

Demain inchalah (car je n'ai pas le fichier exact devant moi) je posterai une petite astuce permettant de démontrer l'hérédité ,se basant sur les formes linéaires et l'orthogonal vis-à-vis des formes linéaires ...D'ici là portez vous bien mr .
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