Salut,
Justement, ce 'comme si' : necessite une explication rigoureuse.
La matrice [tex]\Delta = \text{diag} (X,...,X)[/tex] est en réalité une matrice carrée dont les termes sont des polynômes. Ces derneirs sont des élèmenst de l'anneau [tex]A= {\mathbb K}[X][/tex].
Auterment dit , [tex] \Delta \in {\mathcal M}_n(A)[/tex].
Justement , les matrices peuvent ĂŞtre Ă coefficients dans un anneau et on ne perd rien , par rapport aux matrices Ă coefficients dans un corps. En particulier, on garde la notion de determinant.
Ainsi le polynôme caractéristique est le determinant d'une matrice à coefficients dans un anneau.
Comme ça on n'a plus le problème de 'scalaire' que tu avais soulevé ci-dessus.
Note :
Soit [tex]A[/tex] un anneau commutatif
On considère [tex]{\mathcal M}_n(A)[/tex] ensemble des matrices carrées de taille [tex]n[/tex] à coefficients dans l'anneau [tex]A[/tex].
On définit le determinant d'une matrice carrée comme d'habitude.
Il faut cependant se méfier des résulatats comme l'inversibilité d'une matrice : Il ne faut pas croire, par exemple, qu'une matrice est inversible si et seulement si son determinant est non nul !
Mais si et seulement si son determinant est INVERSIBLE, auquel cas on a les mĂŞmes formules.
Moralité , on a toujours la formule, pour toute matrice [tex]M \in {\mathcal M}_n(A) [/tex], on a : [tex]M \;^t (\text{Com}(M))= (\det M) \, I_n[/tex], où [tex]I_n[/tex] est la matrice unité de [tex]{\mathcal M}_n(A)[/tex], ce qui donne :
[tex]M[/tex] est inversible si et seulement si [tex]\det M[/tex] inversible dans l'anneau [tex]A[/tex], auquel cas [tex]M^{-1} = (\det A)^{-1} \;^t (\text{Com}(M))[/tex].
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