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Othmaaan
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Cayley Hamilton 23/08/2011 à 20h16
Le théorème de Cayley-Hamilton montre que tout endomorphisme annule son polynôme caractéristique.
La démonstration n'est pas simple pourtant à première vu c'est évident :
[tex]\chi_u(X)=\det(A-XI_n)[/tex] avec [tex]A[/tex] la matrice de [tex]u[/tex] dans une base , est le polynôme caractéristique de [tex]u[/tex]. Donc il suffit de remplacer [tex]X[/tex] par [tex]A[/tex] et normalement c'est bon , mais ce n'est pas le cas.Je pense parce que [tex]X[/tex] est une indéterminée scalaire mais je ne suis pas sur.
J'aimerais donc une explication plutôt précise et Merci!
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Mohamed
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Re : Cayley Hamilton 23/08/2011 à 22h29
Salut,

Justement, Thm de Cayley Hamilton c'est cette substitution!
Rien ne permettait Ă  priori cette substitution.
Pour s'en rendre compte, prenons la trece : Posons [tex]U(X)=tr(A-XI_n)[/tex], il vient [tex]U(X)=tr(A)-nX[/tex]
On a [tex]U(A)=tr(A) I_n - n A[/tex] mais la substitution directe donne [tex]O[/tex].
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 CĂ© Moi Lhassane
Re : Cayley Hamilton 24/08/2011 à 01h58
BSR au Forum !!
BSR Mohamed .

Celà me fait plaisir d'intervenir sur cette question pour dire que le phénomène décrit par Othmane est TOUT A FAIT ACCIDENTEL et Mohamed a donné un exemple retentissant ...

Toujours à propos de Polynôme Caractéristique ..... Avec les données d'Othmane , si P est une matrice carrée d'ordre n et inversible et posons B=P^(-1).A.P .
On sait que A et B ont même polynôme caractéristique car SEMBLABLES , on pourrait écrire donc :
DĂ©t(B-X.In)= DĂ©t(A-X.In)
A annulle son polynôme caractéristique et ..... si on ' substituait " A à X dans l'expression précédente , on aurait : Dét(B - A) =ZERO

Ce qui serait un peu FARFELU .....

Amicalement . LHASSANE
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Mohamed
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Re : Cayley Hamilton 24/08/2011 à 03h59
Salut,

Merci Lhassane pour cet autre argument.

Je demande aussi à Othmaan ce qu'il voulait dire par indeterminée scalaire
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Othmaaan
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Re : Cayley Hamilton 25/08/2011 à 00h13
Bonjour ,
ce que je voulais dire par là c'est que pour calculer le polynôme caractéristique , on calcule le déterminant de notre matrice tout en soustrayant X à la diagonale. càd que [tex]\det(A-XI_n)=\det(A-diag(X,...,X))[/tex] comme si [tex]X[/tex] était un scalaire.
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Mohamed
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Re : Cayley Hamilton 25/08/2011 à 03h15
Salut,
Justement, ce 'comme si' : necessite une explication rigoureuse.
La matrice [tex]\Delta = \text{diag} (X,...,X)[/tex] est en réalité une matrice carrée dont les termes sont des polynômes. Ces derneirs sont des élèmenst de l'anneau [tex]A= {\mathbb K}[X][/tex].
Auterment dit , [tex] \Delta \in {\mathcal M}_n(A)[/tex].
Justement , les matrices peuvent ĂŞtre Ă  coefficients dans un anneau et on ne perd rien , par rapport aux matrices Ă  coefficients dans un corps. En particulier, on garde la notion de determinant.
Ainsi le polynôme caractéristique est le determinant d'une matrice à coefficients dans un anneau.
Comme ça on n'a plus le problème de 'scalaire' que tu avais soulevé ci-dessus.


Note :
Soit [tex]A[/tex] un anneau commutatif
On considère [tex]{\mathcal M}_n(A)[/tex] ensemble des matrices carrées de taille [tex]n[/tex] à coefficients dans l'anneau [tex]A[/tex].
On définit le determinant d'une matrice carrée comme d'habitude.
Il faut cependant se méfier des résulatats comme l'inversibilité d'une matrice : Il ne faut pas croire, par exemple, qu'une matrice est inversible si et seulement si son determinant est non nul !
Mais si et seulement si son determinant est INVERSIBLE, auquel cas on a les mĂŞmes formules.
Moralité , on a toujours la formule, pour toute matrice [tex]M \in {\mathcal M}_n(A) [/tex], on a : [tex]M \;^t (\text{Com}(M))= (\det M) \, I_n[/tex], où [tex]I_n[/tex] est la matrice unité de [tex]{\mathcal M}_n(A)[/tex], ce qui donne :
[tex]M[/tex] est inversible si et seulement si [tex]\det M[/tex] inversible dans l'anneau [tex]A[/tex], auquel cas [tex]M^{-1} = (\det A)^{-1} \;^t (\text{Com}(M))[/tex].

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