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achraf_djy
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D√©monstration 28/03/2012 à 00h19
Salam, je vous propose de démontrer que:
1) Si [tex]A\epsilon M_{n}(\mathbb{K}) [/tex],avec determinant de A différent de 0, alors [tex]A^{-1}=\frac{1}{detA}t(com(A)) [/tex]
2) L'inverse d'une matrice triangulaire est une matrice triangulaire.
3) L'inverse d'une matrice diagonale A est une matrice diagonale B , avec bii=1/aii.
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Lotus_Bleu
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Re : D√©monstration 28/03/2012 à 00h47
BSR au Forum.
BSR Achraf !!

Une remarque pour 2) et 3)
Une matrice TRIANGULAIRE ou DIAGONALE n'est pas systématiquement INVERSIBLE !!
Alors il faudrait plut√īt √©crire :
2) Une matrice triangulaire inversible admet pour inverse une matrice triangulaire.
3) Une matrice diagonale A =Diag(ai , i=1 à n ) admet pour inverse la matrice diagonale B=Diag( 1/ai , i=1 à n ) .

Quant à la 1) , c'est une question qui doit être prouvée en Cours ....

Amicalement . LHASSANE


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Mohamed
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Re : D√©monstration 28/03/2012 à 19h57
Salut:
Pour information on a plus : Si [tex]R[/tex] est un anneau commutatif unitaire et si [tex]A \in {\mathcal M}_n(R)[/tex] et si on note : [tex]\widetilde{A}[/tex] la matrice complémentaire de la matrice [tex]A[/tex], c'est-à-dire la transposée de la comatrice de [tex]A[/tex] alors on a : [tex]A\widetilde{A} = \widetilde{A}A =\det A I_n[/tex], avec [tex]I_n[/tex] la matrice unité.
Pour le prouver , le e terme général de [tex]A\widetilde{A}[/tex] est [tex]d_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}(-1)^{j+k}\Delta_{jk}[/tex] et on discute les cas :
Si [tex]i = j[/tex] alors [tex]d_{ij}= d_{ii} = \det A [/tex] puisqu'il s'agit du développment de [tex]\det A[/tex] suivant la [tex]i[/tex] éme ligne.
Si [tex]i \neq j[/tex] l'expresion ci-dessus est le developpement suivant la [tex]j[/tex] éme ligne du determinant de la matrice [tex]A'[/tex] obtenue en remplaçant la [tex]j[/tex] emme ligne de [tex]A[/tex] par sa [tex]i[/tex] eme ligne , ce qui fait que [tex]A'[/tex] posséde deux lignes égales à savoir la [tex]i[/tex] eme et la [tex]j [/tex] emme donc [tex]\det A' =0[/tex]
J'ai parlé de matrices à coefficients dans un anneau car je sais que Achraf fait des études dont le niveau depasse celui de prépa, donc il se peut qu'il en tire profit pour une éventuelle question.
J'attire à l'occasion ton attention qu'on peut faire de l'algébre linéaire sur des [tex]R-[/tex]modules au lieu de se restreindre à des [tex]\mathbb K[/tex] espaces vectoriels ...
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