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Dr Red1
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R√©duction d'un endomorphisme 27/12/2011 à 15h51
Salamo alaykom !

Svp, j'aimerai bien que vous m'aidiez à résoudre cet exercice :

Soit [tex](a,b) \in {\mathbb R}^2[/tex] tel que [tex]|a| \neq |b|[/tex], et [tex]\Large A=\left(\begin{array}{cccccc}a&b&a& \cdots&b\\b&a&b& \cdots & a \\ a&b&a& \cdots&b \\ \vdots &&&& \vdots \\ b&a&b& \cdots & a \end{array} \right) \in {\mathcal M}_{2n} ({\mathbb R}) (n \geq 2)[/tex]

1/ Calculer rg(A). En déduire que 0 est valeur propre de A et déterminer la
dimension du sous-espace propre associé.

2/ Déterminer deux vecteurs propres non colinéaires et en déduire que A est
diagonalisable.

Merci bcp :)
matrice.jpg  (24 k)
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Mohamed
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Re : R√©duction d'un endomorphisme 28/12/2011 à 03h02
Salut,

Indications:
1) Il suffit de remarquer que la construction de la matrice [tex]A[/tex] se fait par répétition de la premiére et la deuxième colonne et que ces duex dernières sont indé pendantes vues les hypothèses.
Comme [tex]n \geq 2[/tex] on a donc [tex]\text{rg} (A) \neq 2n[/tex] donc .... donc [tex]0[/tex] est ...
La dimension du sous-espace propre : utilise le théorème du rang.


2) Pense à [tex]u_1=\left(\begin{array}{c}1\\1\\ \vdots \\1 \\ 1 \end{array} \right)[/tex] et [tex]u_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ \vdots \\1\\ -1 \end{array} \right)[/tex]

La déduction est simple car tu peux calculer la somme des dimesions des sou-espace propres (elle est à priori inférieure ou égale à [tex]2n[/tex] et tu peux démontrer qu'elle est [tex]\geq 2n[/tex].)
Code LaTEX 
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dr red1
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Re : R√©duction d'un endomorphisme 29/12/2011 à 21h41
Salut !

Merci Mr Mohamed pour votre soutien .
Pour la 1ere question, comme la 1ere colonne et la 3eme sont semblables, on peut echelonner la matrice ( C1 reçoit C1-C3 ...) et ainsi de suite, n'est ce pas ? . Comment, monsieur, vous avez déduit du fait que n est sup à 2, le rang et différent de 2n ? ( S'il ya une proposition concernant ça, prière de me l'écrire car à l'ensa on ne fait pas tout :s ).

Jazaka laho khayrane
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 C√© Moi Lhassane
Re : R√©duction d'un endomorphisme 29/12/2011 à 21h57
BSR Dr Red1 !!

Tu as bien remarqué que si on note C1 et C2 les deux premières colonnes de A alors
Rg(A)=Rang{C1,C2;C1,C2, ....... ;C1,C2}
C'est aussi égal au Rang{C1,C2} qui est EXACTEMENT 2 puisque C1 et C2 sont linéairement indépendantes vu que (a^2 - b^2) <> 0 .

Par ailleurs le Rang de A est selon une définition dans ton Cours , l'ordre MAXIMUM d'un MINEUR non nul extrait de A et ce Mineur c'est par exemple Dét{a,b;b,a}

Amicalement . LHASSANE
Espace
Mohamed
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Re : R√©duction d'un endomorphisme 29/12/2011 à 22h28
Salam


à Red:
Tout simplement , car s n=1 on aurait rg(A)=2=2n (donc à la taille de notre matrice)
A ce moment la matrice serait inversible.
Espace
Dr Red1
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Re : R√©duction d'un endomorphisme 31/12/2011 à 18h09
Merciiiii bcp pour votre aide .

√Ć√í√á√ü√£ √á√°√°√• √é√≠√Ď√á
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