Logo-de-mathsland.com
 sqrt
trouver toutes les Endo. 09/04/2012 à 03h28
Soit E un e.v de dimension n. trouver toutes les Endomorphismes f de E tel que fof=Id(E)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
j'ai trouvé que toutes les endomorphismes de E sont solutions ..
Espace
 sqrt
Re : trouver toutes les Endo. 09/04/2012 à 03h35
dsl ..pour cette bêtise !! mais ca n'empeche pas un aide pédagogique :)
Espace
khawarizmi_maroc
Hors Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 09/04/2012 à 16h05
Bonjour Sqrt;
Ci-dessous des indications pour ta question :

d'abord je te rappel que pour definir cet endomorphisme il suffit de le definir sur une base de E.

pour ce fait on considere une base[tex] B= (e_{1},.....,e_{n}) [/tex] de [tex] E [/tex] .

1- soit [tex] e_{j} [/tex] un element de cette base

alors [tex] \exists (\alpha_{1},...,\alpha_{n}) , f(e_{j} )=\Large \sum_{i=1}^{i=n}{\alpha_{i}e_{i} } [/tex] avec [tex] j \in [1,n] [/tex] .


2- applique [tex] f [/tex] Ă  la ralation (1) , et remplace [tex] f(e_{i}) [/tex] par la meme facon que [tex] f(e_{j}) [/tex] c-Ă -d : [tex] \exists (\beta_{i,1}, ...., \beta_{i,n}) , f(e_{i})=\Large \sum_{k=1}^{k=n}{\beta_{i,k}e_{k} } [/tex]

Au final tu devrais touver : [tex] e_{j} = \Large \sum_{i=1}^{i=n}\alpha_{i} {(\Large \sum_{k=1}^{k=n}{\beta_{i,k}e_{k} } )[/tex]

3- arronge la relation puis utilise le fait que [tex] B= (e_{1},.....,e_{n}) [/tex] est libre pour en fin trouver une relation

cordialement
Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 09/04/2012 à 17h19
Salut,

Puisque tu veux, sqrt, un aide pédagogique, tu aurais fait mieux si tu avais précisé le niveau sous lequel tu fait cet exercice.
En effet, un élève de spé par exemple a des moyens pour répondre rapidement (polynôme annulateur et théorème de décomposition des noyaux).
Un élève de sup (ou équivalent) a bsoin de questions intermediaires avant de commencer à répondre à la question.
Comme je suppose que tu es en premièere année (d'après certaines remarques) je te suggére de faire ce qui suit :(je signale que je conserve toutes les notations de ta question initiale).
1) Soit [tex]F=\{x \in E / f(x)=x \}[/tex] et [tex]G = \{ x \in E / f(x)=-x\}[/tex]
a) Prouver que [tex]F[/tex] et [tex]G[/tex] sont deux sous-espaces vectoriels de [tex]E[/tex] et que [tex]F \oplus G= E[/tex]
b) Identifier [tex]f[/tex] si [tex]G=\{0\}[/tex]
c) MĂŞme question si [tex]F =\{0\}[/tex]
2) On suppose dans cette question que [tex]F \neq \{0\}[/tex] et [tex]G \neq \{0\}[/tex] et qu'ils sont de dimensions repectives [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] (on a alors : [tex]n=p+q[/tex]) et soit alors [tex]{\mathcal F} =(u_1,...,u_p)[/tex] et [tex]{\mathcal G} =(u_{p+1},..,u_{p+q})[/tex] des bases respectives de [tex]F[/tex] et [tex]G[/tex] et soit [tex]{\mathcal B} = (u_1,..,u_n)[/tex]
a) Pourquoi [tex]\mathcal B[/tex] est une base de [tex]E[/tex] ?
b) Soit [tex]x \in E[/tex]. En Ă©crivant [tex]x[/tex] dans la base [tex]\mathcal B[/tex], identifier [tex]f[/tex]

Pour ce qui est de la réponse de khawarizmi_maroc (merci à lui pour ses contributions) elle aboutit à une équation matriciell genre [tex]X^2=I_n[/tex], qui n'est pas aisée à faire sans justement mobiliser les outils de l'algèbre linéaire. La dificulté prends sa source dans le fait que la base était arbitraire. Puisqu'on a le choix, mieux vaut travailler à l'aide d'une base adaptée simple (tu la connais c'est une base de vecteurs propres ). Or ils ne font pas ça en sup, d'où la necessité de détailler la question selon le modéle ci-dessus par exemple.
Cordialement.
Code LaTEX 
Espace
Lotus_Bleu
En Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 09/04/2012 à 17h34
BJR au Forum .
BJR Mohamed !!

J'allais exactement proposer la mĂŞme chose que Toi !! C'est donc pareil !!!
Juste une remarque : sqrt n'a pas précisé le corps de base , je présume que c'est IR ou C .... Sinon dans le cas général , celà peut ne pas fonctionner et en particulier si IK est de caractéristique 2 par exemple IK=Z/2Z pour ces espaces vectoriels sur IK on aura toujours 2.x=O et donc pour ton 1) a/ on aura certainement des ennuis ....

Pour résumer donc : les f répondant à la question posée ont pour matrice relativement à une base de référence de E une matrice du type
P.J.P^(-1) ou
P est une matrice nxn INVERSIBLE et
J une Matrice nxn Bloc-Diagonale du genre [tex]\begin{pmatrix}Ip & O \\ O& -Iq \end{pmatrix}[/tex]

avec p c'est la Dim de F ,
et q =n-p , celle de G ,
Ceci lorsque p OU q n'est pas NUL .
Si Dim F=0 alors J=-In
Si Dim G=0 alors J=In

Amicalement . LHASSANE



Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 09/04/2012 à 18h10
Salut Lhassane : pour ce qui est du corps de base , c'est connu que le progarmme des prépas se limite aux deucorps , celui des réels ou des nombres complexes (parfois des profs mettent un sous-corps de C)
J'avais répondu à sqrt en considérant qu'il est en sup tout en attendant qu'il précise ses besoins .
Sinon en caractéritique 2 on a même [tex]F=G[/tex]
Code LaTEX 
Espace
 sqrt
Re : trouver toutes les Endo. 10/04/2012 à 03h54
merci Ă  tous ! :)

pour le probléme que tu m'as donné Mr.Mohamed le voila solutionné :

1)a)

F est différent de {} car: 0€F
soit (x,y) €F et lambda €IK
x+lambda.y=f(x)+f(lambda.y)=f(x+lambda.y)
d'ou F est un s.e.v de E

de mĂŞme pour G

G est un s.e.v de E

soit (x,y)€F*G
x+y=f(x-y) €E

x€FnG <=> x€F et x€ G
<=> 2f(x)=0
<=>x=0
FnG={0}

résultat : F(+)G=E

b) si G={0} alors qlq x de E f(x)=0

c) si F{0} alors qlq x de E f(x)=0

2)a) Th de la base incomplète

b) soit x de E

x=(somme de 1 Ă  n ) a_i*U_i

f(x)=(somme de 1 Ă  n ) ai*fof(ui)=(somme de 1 a n) ai*ui =x

les solutions sont les id (E)
Espace
khawarizmi_maroc
Hors Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 10/04/2012 à 11h11
{Bonjour Sqrt,

verifie tes reponses : 1-B , et 1-C puis 2B => pour ca regarde bien ce qu'il a marque Mr Lotus_Bleu :


c'est vrai que l'introdution des sous espacse propres : F et G facilite bcp la definition de f ( mais pour ca l'etudiant au sup doit avoir les outils necessaires pour avoir ce refelexe).

pour utiliser que les moysen de sup ( je crois que t'es Sup) , alors je contiune mon raisonement ci-dessus (sauf erreur bien entendu).

Apres avoir trouver la relation : : [tex] e_{j} = \Large \sum_{i=1}^{i=n}\alpha_{i} {(\Large \sum_{k=1}^{k=n}{\beta_{i,k}e_{k} } )[/tex]

[tex] B [/tex] est libre [tex] \Rightarrow \sum_{i=1}^{i=n}{ \alpha_{i} \beta_{i,k} = 0 [/tex] avec [tex] k\neq j [/tex] et [tex] \sum_{i=1}^{i=n}{ \alpha_{i} \beta_{i,j} = 1 [/tex]



Donc tu peux montrer que [tex] f(e_{j} )=\alpha_{j} e_{j} , \alpha_{j} \in {-1,1} et j\in [1,n] [/tex] est une solution à ce système

alors la matrice de f avec ces conditions est : [tex] D= \begin{pmatrix}I_{p}&0 \\ 0 & - I_{q}&\\ \end{matrix} [/tex] avec [tex] p+q = n [/tex] .

D'oĂą la matrice de [tex]f [/tex] dans n'importe quelle base ( en utilsant matrice de passage ):

[tex] A_{f} = PDP^{-1} [/tex]
Code LaTEX 
Espace
 sqrt
Re : trouver toutes les Endo. 10/04/2012 à 11h40
le corps de base c'est IR, IK=IR.

j'étais sans doute inconscient de ce que j'ai écris hier après minuit :)

je vérifierai ce que j'ai fait , ainsi ta méthode

merci
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 10/04/2012 à 21h02
Salut
C'est bien sqrt d'avoir fait un effort mais c'est insuffisant:
Tu n'as pas montré que [tex]E=F+G[/tex]. Tu as pris deux éléments [tex]y \in F[/tex] et [tex]z \in G[/tex] et tu as prétendu avoir démontré que [tex]y+z \in E[/tex].
Or on sait déjà que [tex]F+G \subset E[/tex] : du moment que [tex]F[/tex] et [tex]G[/tex] sont des sous-espaces vectoriels de [tex]E[/tex] leur somme est une partie de [tex]E[/tex]. D'ailleurs même si tu prends deux parties quelconques [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] de [tex]E[/tex] qui ne sont pas forcément des sou-espaces vectoriels de [tex]E[/tex], alors leur somme [tex]A+B=\{a+b / a \in A, b \in B\}[/tex] est bien une partie de [tex]E[/tex].

Ce que tu n'as pas fait et que tu devrais faire est de montrer que [tex]E \subset F + G [/tex]. Autrement dit: Soit [tex]x \in E[/tex], trouve [tex] (y,z) \in E^2[/tex] tel que : [tex] \left\{ x=y+z \\ f(y)=y \\ f(z)= -z \right.[/tex]

Tu n'as pas répondu à la dernière question: une déclaration qui n'a pas de sens , tu as dit : les id(E). Qu'est ce que ça veut dire ? Si tu veux dire l'application identique alors il y'a une unique et pourqoui alors le pronome 'les' ? Si tu voulais dire autre chose ta citation ne le met pas en évidence.

Pour khawarizmi_Maroc ; je ne comprends pas comment tu as fait au dernier passage qui te donne la matrice aves [tex]I_p,-I_q[/tex].
Pour la méthode suggérée il faut évidement donner l'indication aux élèves en sup (certains profs mettent un paragraphe sur les projecteurs et symétries dans leur cours et démontrent tout ça, mais d'autres préférent le donner sous forme d'un devoir mais alors ils détaillent lex choses).
Je me rappelle d'une épreuve de concours (maths II) dont le sujet tourait autour de la résolution de l'équation [tex]X^2=A[/tex] dans [tex]{\mathcal M}_n ({\mathbb R})[/tex] où [tex]A[/tex] est donnée et [tex]X[/tex] l'inconnue, et par suite ce n'était pas une chose évidente de résoudre une telle éqaution en générale. même l'équation [tex]X^2=I_n[/tex] qui est un cas particulier, elle necessite beaucoup de soin pour une résolution rigoureuse (en sup).
Code LaTEX 
Espace
 sqrt
Re : trouver toutes les Endo. 11/04/2012 à 01h20
merci beaucoup pour les remarques détaillées ça me fait énormément plaisir ! :)

pour la premiére question, wé j'ai oublié l'implication réciproque ...donc on prend y=0 et z=0 :)

et pour "les id(E)" je voulais dire l'application id(E) hhh :)...mais pour les questions 1)b) et 1)c) je ne suis pas sûr juste une remarque c'est que si G={0} alors ker(F)={0} d'ou F est injective , F(x)=f(x)+x est ce que vous avez une remarque.

Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 11/04/2012 à 01h26
Salu sqrt :
Puisque tu viens de poster ce message l'instant je t'informe que [tex] y=0[/tex] et [tex]z=0[/tex] conveint unqiuement pour [tex]x=0[/tex]
Essaye de concetrer on a [tex]x \in E[/tex] quelconque et on veut construire [tex]y[/tex] et [tex]z[/tex] vérifaint les conditions ci-dessus
je suis là travaille et informe moi de tes résultats

Pour la question 1)b)
si [tex]G=\{0\}[/tex] alors [tex]E=F[/tex] par suite [tex]\forall x \in E \quad f(x)=x [/tex]
Tu fait un raisonnement pareil si [tex]F=\{0\}[/tex]
Code LaTEX 
Espace
 sqrt
Re : trouver toutes les Endo. 11/04/2012 à 04h04
alors y=z=x/2 sinon vous pouvez poster la solution .et merci beaucoup pour votre aide Ă  cet instant :)
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 11/04/2012 à 10h05
Salut:

sqrt : ça sert à quoi de te poster la solution?
Comment fais tu pour donner de telles réponses ?
Ecrire par exemple [tex]y=z=0[/tex] me laisse dire que tu ne fournis aucun effort de reflexion.
Ensuite tu écris [tex]y=z=\frac x2[/tex]. As tu verifié toutes les conditions ? (Regarde bien! il y'en a trois)
Pourquoi tu n'as pas remarqué que dans toutes tes réponses tu ne t'es jamais servi de l'hypothése importante sur [tex]f[/tex] à savoir [tex]f \circ f= \text{id}_E[/tex] (D'ailleurs , tu n'as jamais touché à [tex]f[/tex] dans toutes ces réponses).
Si tu veux travailler sérieusement pose bien le problème et dis tois : Qu'est ce que je veux ? qu'est ce que j'ai ? et examine bien les réponses obtenues car cela pourra te conduire vers la bonne voie d'une bonne réponse.
Code LaTEX 
Espace
 sqrt
Re : trouver toutes les Endo. 13/04/2012 à 00h52
bon..je suis désolé

on prend y=x et z=0 , et vraiment pour cette fois j'ai bien réfléchi ...si c faux ,je crois que c tout à fait naturel si on arrive pas parfois à la bonne réponse.
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 13/04/2012 à 01h13
Salut,
Si tu as réfléchi, tu n'as pas suivi les indications.
Par exemple, tu n'as pas tiré profit de la remarque : "utilisation de [tex]f[/tex] "
Que voulons nous ?
Nous viulons [tex]y \in F [/tex] [tex]z \in G[/tex] tel que [tex]x=y+z[/tex]
Que veut dire [tex]y \in F[/tex] ? : ça vaut dire [tex]f(y)=y[/tex]
Que veut dire [tex]z \in G[/tex] ? : ça vaut dire [tex]f(z)=-z[/tex]
Que pouvons nous faire sachant qu'aon aurait :

[tex]\left\{ x=y+z \\ f(y)=y \\ f(z) =-z \right.[/tex] ?


On peut par exemple dire : [tex]x = y +z \Rightarrow f(x)= f(y) + f(z) [/tex]

ce qui donne : [tex]\left\{ y+z= x \\ y-z =f(x) \right.[/tex]

Cela permet donc d'exprimer [tex]y[/tex] et [tex]z[/tex] en fonction de [tex]x[/tex] mais n'oublions pas qu'il faut verifier qu'ils conviennent ....
Code LaTEX 
Espace
3,14
En Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 13/04/2012 à 01h59
c sqrt



j'ai commencé par x€ F+G<=>x=y+z<=>x=f(y) -f(z) <=> x=f(y-z) enfin ???

je veux juste dire que j'ai utlisé ce que tu m'as dit :)

merci .
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 13/04/2012 à 13h59
Si tu avais utilisé ce que j'avais dit tu aurais fait ce qui est souligné (dernière ligne) et pas le contraire.
Espace
3,14
En Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 13/04/2012 à 18h25
y= (f(x)+x)/2
z=(x-f(x))/2
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 14/04/2012 à 00h55
De là on tire la chose suivante : Quand on vous donne une indications, essayez de la lire soigneusement. essayez de comprendre ce qu'elle veut dire. En prépa, pendant un examen oral par exemple, la pire des situations est quand le candidat néglige l'indication et n'en tire pas profit par conséquent.

Il te reste à démontrer la réciproque.
Il faut prouver que si on donne à y et z les valeurs trouvées ci-dessus alors ils conviennet bien.
Un petit détail: L'écriture [tex]\fra u2[/tex] où [tex]u \in E[/tex] (vecteur) est un abus d'écriture car il est plus correct d'écrire [tex]\frac 12 u[/tex]. Mais si on est conscient de ça , ce n'est pas grave.

Remarque : On peut remarquer que si [tex]f \in {\mathcal L}(E)[/tex] tel que [tex]f \circ f=\text{id}_E[/tex] alors en particulier [tex]f[/tex] est bijective. Cela peut nous dispenser de raisonner dans deux sens (équivalence) mais il faut se méfier.

De telle applications linéaires s'appellent symétries.

Pour visualiser ce travail, prenons une droite [tex](D) [/tex] du plan (euclidein) [tex]\mathcal P[/tex] et soit [tex] (\Delta) [/tex] une droite perpendiculaire à [tex](D)[/tex] et [tex]O[/tex] le point de rencontre des deux droites . Si [tex]\vec{u}[/tex] est un vecteur posons [tex]\vec{u'} = f(\vec{u})[/tex] avec : [tex]\vec{u} =\vec{OM}[/tex] et [tex]M'=S_D(M)[/tex] avec [tex]S_D[/tex] la symétrie axiale (orthogonale) d'axe [tex](D)[/tex]n et [tex]\vec{u'} = \vec{OM'}[/tex].
1) Montrer que [tex]f[/tex] verifie [tex]f \circ f =f[/tex]
2) Montrer que [tex]f[/tex] est linéaire
3) Soit [tex]M[/tex] un point du plan et [tex]H,K[/tex] les projections orthogonales respectives de [tex]M[/tex] sur [tex](D)[/tex] et [tex](\Delta)[/tex] . Posons : [tex]\vec{x} =\vec{OM},\vec{y}=\vec{OH},\vec{z} = \vec{OK}[/tex]. Prouver que [tex]y+z=x[/tex] et [tex]f(y)=y[/tex] et [tex]f(z)=-z[/tex].
4) Determiner l'ensembble [tex]F=\{M \in {\mathcal P} / f(\vec{OM} ) =\vec{OM} \}[/tex] et [tex]G=\{M \in {\mathcal P} / f(\vec{OM} ) =-\vec{OM} \}[/tex]
5) DĂ©montrer que pour tout [tex]M \in \mathcal P[/tex] il existe un unique couple [tex](M_1,M_2) \in F \times G[/tex] tel que [tex]\vec {OM} = \vec{OM_1} + \vec{OM_2}[/tex]
6) Faire un dessin dans lequel on résume : Tracer [tex](D),(\Delta), M, M_1,M_2,M',M_1',M_2'[/tex]
Code LaTEX 
Espace
3,14
En Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 14/04/2012 à 22h43
réciproquement
on a x=y+z c"est vérifié
et on a f(y) =f((1/2)(f(x)+x))=(1/2)(f(f(x)+x))=(1/2)( f(f(x) +f(x))=(1/2)(fof(x)+f(x))=y
f(z)=f((1/2)(x-f(x))=(1/2)f(x-f(x))=(1/2)( f(x)-fof(x) )=-z
donc y et z vérifient les trois conditions

je suis en train de travailler la suite ...
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 14/04/2012 à 23h07
C'est bien 3,14
Espace
3,14
En Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 14/04/2012 à 23h24
merci

un peu d'aide svp sur la première question , est ce qu'il y a une relation entre Sd et f ??

bon , soit le vecteur u* de P, fof(u*)=SdoSd(OM*)=OM*=u*

fof est IdP

est ce que vous êtes sur de la premiére question ?

2-soit u* et v* des vecteurs de P et µ€IR

f(u+µv)=Sd(OM*+µOM")=Sd(OM*)+µSd(OM"*)=f(OM*)+µf(OM"*)
f est linéaire

3-on a y+z=OH*+OK*=OM*+MH*+OK*=OM*+KO*+OK*=OM*
f(y)=Sd(OH*)=OH*, puisque H€(D)

f(z)=Sd(OK*)=-OK*,puisque K€delta donc f(z)=-z

4-M€F<=>f(OM*)=OM*
<=>OM'*=OM*
<=>M'=M
F={M'}

M€G<=>f(OM*)=-OM*
<=>M€(delta)
G=(delta)



Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 15/04/2012 à 01h56
Salut 3.14 :

Tout d'abord je n'exige pas que tu réponde aux questions supplémentaires ci-dessus si tu n'as pas le temps necessaire.
je veux juste te transmettre un approche géométrique qui peut t'aider à comprendre les symétries .
Intuitivement si tu fait le symétrique de symétrique d'un point M tu reviens à M lui même, ce qui explique [tex]f \circ f = \text{id}[/tex]
Attention , on ne peut pas dire que [tex]f[/tex] est Ă©gale Ă  [tex]S_D[/tex].
déjà elles n'ont pas les mêmes ensembles de départ ni d'arrivée.
Si on note [tex]\mathcal P[/tex] le plan affine euclidien ( le plan usuel) et si on pose [tex]E =\{ \vec{MN} / (M,N) \in {\mathcal P}^2 \}[/tex]. tu peux facilement démontrer que muni de l'addition des vecteurs et la multiplication par un scalaire réel d'un vecteur, [tex](E,+,.)[/tex] est un espace vectoriel réel ( de dimension 2).
Alors on a [tex]S_D[/tex] est une application de [tex]\mathcal P[/tex] vers lui mĂŞme tandis que [tex]f[/tex] est une application de [tex]E[/tex] vers [tex]E[/tex].

pour la linéarite tu fait par exemple comme suit:

Soit [tex]\vec{u}, \vec{v}[/tex] deux éléments de [tex]E[/tex] et [tex]M,N,S \in {\mathcal P}[/tex] d'images respectives par [tex]S_D[/tex] [tex]M',N',S'[/tex] tel que [tex]\vec{OM}= \vec{u}[/tex] et [tex]\vec{ON}= \vec{v}[/tex] [tex]\vec{OS}= \vec{u}+ \vec{v}[/tex] . Alors le quadrialtère [tex]OMSN[/tex] est un parallélogramme. Donc (propriètés des symétries axiales ) le quadrialtère [tex]OM'S'N'[/tex] et un parallélogramme.Il s'en suit que [tex]\vec{OS'} = \vec{OM'}+ \vec{ON'}[/tex], donc que [tex]f(u+v)=f(u) + f(v)[/tex].
tu fait la mĂŞme chose avec le produit par un scalaire ...
Code LaTEX 
Espace
3,14
En Ligne 
Re : trouver toutes les Endo. 15/04/2012 à 02h12
d'accord ...
merci pour l'aide Mr Mohamed ,je suis trés reconnaissant à vous .
Espace
Sujet verrouilé par Vous êtes sur l'ancien Forum. Celui-ci est fermé. Cliquer ici pour accéder au nouveau Forum