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Axxx
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deux exercices sur les groupes (sous--, abĂ©lien) 12/02/2012 à 13h25
bonjour,


ex :


soient (G,*) et (H; .) deux groupes.

a) montrer que G#H est une groupe pour la loi (x,y)(x',y')=(x*x',y.y') ( fait ! )

b) montrer que si G' est une s-grp de G et H' est un s-grp de H.

alors G'#H' est un s-grp de G#H. ( j'ai utilé la deuxième caractéristque du s-grp )!!

c) donner un expl de s-group de G#H qui n'est pas de la forme précedente. ( !!!! )



Ex :

soit G un grp abélien fini de cardinal n, dont la loi est notée multiplicativement et soit a un élèment de G.

a) montrer que [tex]\Large \prod_{x\in G}^{}{x}=\Large \prod_{x\in G}^{}{ax}[/tex]

b) en déduire que [tex] a^n=e[/tex]

c) soit [tex]p= min ( k\in \mathbb{N} / a^k = e )[/tex] p montrer que p divise n.



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 CĂ© Moi Lhassane
Re : deux exercices sur les groupes (sous--, abĂ©lien) 12/02/2012 à 20h31
BSR au Forum .
BSR Axxx !!


c) donner un expl de s-group de G#H qui n'est pas de la forme précedente. ( !!!! )

Tu prends G=H=Z muni de la loi additive et GxH le groupe -produit.
Se rappeler que les sous-groupes ( additifs ) de Z sont de la forme p.Z avec p entier naturel .
Soit M={(n;n) ; n dans Z }
C'est trivialement un sous-groupe de ZxZ .... et convient comme contre-exemple ?



Pour le 2ème Exercice .

soit G un grp abélien fini de cardinal n, dont la loi est notée multiplicativement et soit a un élèment de G.

a) montrer que [tex]\Large \prod_{x\in G}^{}{x}=\Large \prod_{x\in G}^{}{ax}[/tex]

L'application x ---------> a.x de G dans G est une BIJECTION
donc G=a.G ( Les éléments de a.G sont exactement les éléments de G mais dans un ORDRE différent ... )
d'ou ta relation [tex]\Large \prod_{x\in G}^{}{x}=\Large \prod_{x\in G}^{}{ax}[/tex]
puisque le groupe G est abélien .

b) en déduire que [tex] a^n=e[/tex]

On a [tex]\Large \prod_{x\in G}^{}{x}=\Large \prod_{x\in G}^{}{ax}[/tex] = a^n.[tex]\Large \prod_{x\in G}^{}{x}[/tex]
Si on note A l'élément de G suivant [tex]\Large \prod_{x\in G}^{}{x}[/tex] , on aura A=a^n.A
et puisque A est REGULIER alors a^n=e .


c) soit [tex]p= min ( k\in \mathbb{N} / a^k = e )[/tex] p montrer que p divise n.
Le mieux est d'opérer ainsi :
Considérer l'application k ----------> f(k)=a^k de {Z;+} dans G
( avec la convention a^0=e et si k est NEGATIF a^k=(a')^(-k) ou a' est le symétrique de a )
On montre que f est un HOMOMORPHISME de groupes , son noyau c'est exactement
{ k dans Z , a^k=e } est de la forme pZ avec p dans N puisque c'est un sous-groupe de Z
( Se rappeler que les sous-groupes additifs de Z sont de la forme qZ avec q dans N ... )
Puisque a^n=e alors n est dans pZ et de là forcément p DIVISE n .


Amicalement . LHASSANE
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Mohamed
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Re : deux exercices sur les groupes (sous--, abĂ©lien) 13/02/2012 à 00h11
Salut,

Merci Lhassane pour le beau travail !
Le c) necessite plus de précision car le noyau est de la forme [tex]k \mathbb{Z}[/tex] avec [tex]k \in {\mathbb N}^*[/tex], mais il faut prouver que [tex]k=p[/tex] le min des entiers naturels [tex]i[/tex] tel que [tex]a^i=e[/tex].
on peut pour cela se servir de la division euclidienne...
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 CĂ© Moi Lhassane
Re : deux exercices sur les groupes (sous--, abĂ©lien) 13/02/2012 à 09h49
BJR Mohamed .

Merci pour ton passage ...
En outre , tu as raison !! J'ai manqué de clarté à la fin ....


Amicalement .Lhassane
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 CĂ© Moi Lhassane
Re : deux exercices sur les groupes (sous--, abĂ©lien) 13/02/2012 à 10h14
Re-BJR Mohamed .

On pourrait faire comme celà et conclure sans parler de divisibilité ..
H={ k dans Z ; a^k=e } est un sous-groupe de Z comme Noyau de l'homorphisme ( non injectif ) f .
donc est de la forme qZ avec q dans IN* .
n est dans H donc q divise n
En outre si s est entier et verifie a^s=e alors s sera dans H d'ou q divise s et par suite q<=s

En conclusion et par définition de p , on aura directement p=q et c'est tout ......

PS : en fait ... la divisibilé ... se trouve cachée , car on utilise implicitement la nature des sous-groupes additifs de Z .

Amicalement . Lhassane
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Axxx
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Re : deux exercices sur les groupes (sous--, abĂ©lien) 15/02/2012 à 14h08
bonsoir,


Merci infiniment Mensieurs pour tout vos explications;


juste une question pour l'instant j'ai pas compris ce passage :


" ( Les éléments de a.G sont exactement les éléments de G mais dans un ORDRE différent ... )
d'ou ta relation [tex]\Large \prod_{x\in G}^{}{x}=\Large \prod_{x\in G}^{}{ax}[/tex] " !


Effectivement, les elements de aG sont les éléments de G, mais Que ce qui vous permet de conclure ?

Axxx;@+

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 CĂ© Moi Lhassane
Re : deux exercices sur les groupes (sous--, abĂ©lien) 15/02/2012 à 15h07
BJR Axxx

J'avais Ă©crit :

<< L'application x ---------> a.x de G dans G est une BIJECTION >>
Comme l'image de G par cette application esr exactement aG alors celĂ  veut dire que si on note
aG={b1,b2, ...... , bn } et G={a1,a2, ..... , an}
alors il existe une permutation [tex]\alpha[/tex] de l'ensemble {1,2, ..... , n } telle que
[tex]b_{i}=a_{\alpha(i)[/tex]

partant de là le PRODUIT ( au sens de la Loi de G qui est COMMUTATIVE ) des éléments de a.G est exactement le PRODUIT des éléments de G .

Amicalement . LHASSANE
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Axxx
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Re : deux exercices sur les groupes (sous--, abĂ©lien) 15/02/2012 à 15h23
bonsoir,




Oui ! Maintenant j'ai compris.


Merci
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