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Compl√©tement determin√© 24/04/2012 à 21h06
bonsoir,


Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et G un sous espace de E.


on pose : [tex]A= {f\in L(E,F) / G \subset Ker f} [/tex]

a) montrer que A est un sous espace de L(E,F) -fait-

b- montrer qu'un élément de A est complétement déterminé si on connait sa restriction sur un supplémentaire de G ?

c- quelle est alors la dimension de A ?


Aidez moi, sur les deux dernieres questions !


Salut !
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Espace
elhor_abdelali
En Ligne 
Re : Compl√©tement determin√© 24/04/2012 à 22h29
[tex]\fbox{b}[/tex] Soit [tex]S[/tex] un supplémentaire de [tex]G[/tex] dans [tex]E[/tex] . Tout vecteur [tex]\Large x\in E[/tex] s'écrit donc d'une manière unique :

[tex]\Large x=x_S+x_G[/tex] avec [tex]\Large x_S\in S[/tex] et [tex]\Large x_G\in G[/tex] .

Alors d'une part , pour [tex]\Large f\in A[/tex] il est clair que la restriction [tex]\Large\left\{f_{|_S}:S\to F\\\;\;\;x\mapsto f(x)\right.[/tex] est un élément de [tex]\Large\mathcal{L}(S,F)[/tex]

et réciproquement , pour [tex]\Large g\in\mathcal{L}(S,F)[/tex] l'application [tex]\Large\left\{f:E\to F\\\;\;x\mapsto g(x_S)\right.[/tex] est un élément de [tex]\Large A[/tex] .

Et il n'est alors pas difficile de montrer que l'application [tex]\Large\left\{\Phi:A\to\mathcal{L}(S,F)\\\;\;\;f\mapsto g=f_{|_S}\right.[/tex] est un isomorphisme d'espaces vectoriels .

( dire qu'un élément [tex]\Large f\in A[/tex] est complètement déterminé par la restriction [tex]\Large f_{|_S}[/tex] c'est dire que [tex]\Large\Phi[/tex] est bijevtive )


[tex]\fbox{c}[/tex] On en déduit que :

[tex]\Large dim A=dim\mathcal{L}(S,F)=dim S\times dim F=\left(dim E-dim G\right)\times dim F=codim G\times dim F[/tex]
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 Axxxx
Re : Compl√©tement determin√© 27/04/2012 à 01h11
Bonsoir,



Merci. Ce que vous venez de faire Mr elhor_abdelali est formidable. Mille merci et Merci.


Juste en pour montrer qu'il s'agit d'un isomorphisme d'e.v.



La linéarité et l'injectivité, je dirais Facile à prouver.

La surjectivité est un peu coriace. non ? ( aide ! )
Espace
khawarizmi_maroc
Hors Ligne 
Re : Compl√©tement determin√© 27/04/2012 à 01h22
Bonsoir ,

[tex]\Large f\in A[/tex] est complètement déterminé par la restriction [tex]\Large f_{|_S}[/tex]

par construction , il est evident que l'application [tex]\Large\Phi[/tex] est surjective, n'est ce pas?!

cordialement,
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