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khawarizmi_maroc
Hors Ligne 
Autour de la theorie des groupes 16/01/2013 à 14h29
Bonjour,

Je propose cet exo :


Soit (G,.) un groupe d'orde fini et H un sous groupe de G.

on appele H un sous groupe "distingué" de G ssi [tex] \forall g \in G , \forall h \in H , ghg^{-1} \in H [/tex]

on note [tex] Z(G) = \{x\in G / \forall g \in G; gx=xg\} [/tex] et on l'appelle le centre de G.


pour un g appartient à G on note [tex] gH = \{gh / h \in H\} [/tex]


1 - montrer que [tex] Z(G) [/tex] est un sous groupe distingué de G

2-1 on considère [tex] N_{G} (H)=\{g \in G / gH=Hg\} [/tex] , Montrer que [tex] N_{G} (H) [/tex] est un sous groupe de G

2-2 si [tex] K \subs H [/tex] un sous groupe distingué dans H est ce que K est disntignué dans G ?
(indication : utiliser la question 2-1 en remarquant que [tex] H \subset N_{G} (H) [/tex] )


3 - 1 Montrer que H et gH ont le même cardinale

3- 2 soit [tex] g [/tex] et [tex] g^{'} [/tex] deux éléments de G verifiant la relation suivante.

[tex] g R g' \Leftrightarrow gH =g'H [/tex]

Montrer que [tex] "R" [/tex] est une relation d'equivalence et determiner les classes d'équivalences.

3-3 Déduire que l'ordre de H divise l'ordre de G

4 - montrer que si H est disntingué alors [tex] G/H = \{gH/ g \in G \}[/tex] est dotée d'une sructure de groupe et on le note (G/H,.)

5- soit f un morphisme de Groupe entre G et un groupe F
5-1 , Montrer que [tex] Kerf [/tex]de est un sous groupe distingué de G
5-2 Montrer qu'il existe un morphisme de groupe entre [tex] G/Kerf [/tex] et [tex] F [/tex]

6- On appelle (G,.) un groupe [tex] simple [/tex] ssi les seuls sous groupes distingués dans G sont [tex] (G,.) [/tex] et [tex] (\{e_{G}\},.) [/tex]

en utilsant la question 3-3 quels sont les groupes simples abeliens d'ordre fini

7- Montrer qu 'un groupe d'ordre premier est cyclique
8- Montrer que si [tex] G/Z(G) [/tex] est cyclique alors G est abélien
9- montrer qu'un groupe d'ordre [tex] p^{2} [/tex] est abélien (avec p un nombre premier)
10- Application :

Soit G un groupe d'ordre 242

on admet ce theorème :soit p un nombre premier tel que une puissance p ( [tex] p^{\alpha} [/tex] ) divise l'ordre de G alors G contient un groupe d'orde [tex] p^{\alpha} [/tex]

Montrer alors que G contient un sous groupe abélien "non trivial" dont on determinera l'ordre

Cordialement
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