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abdo-ok
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Sigma et N 05/10/2012 à 00h47
J'ai un exo ici qui ma cassé la tete

======== Exo =====
Montrer que : [tex]\forall n \geq 2 [/tex]

[tex]\Large \sum_{p=1}^{p=n}{\frac{1}{k}} \not\in \mathbb{N}[/tex]
==================
En effet j'ai la solution mais elle est trés trés longue ..
démonstration par réccurence
j'ai essayé une autre methode ms ca marche pas j'aimrais bien la presenter ms avec Latex ca va me prendre une heure pour la écrire .. .. :(
Merci de me donner une indicaton à une methode courte en réccurence on a fait 2 tableaux 0_o
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 Professeur en exercice
Re : Sigma et N 05/10/2012 à 13h26
Bj
Je propose une demo .niveau premiere maths.
Tu commences par examiner les cas n=2, n=3,n=4,n=5
Tu conjectures que la somme en question peut se mettre sous la forme d'un quotient d'un entier naturel impair par un entier naturel non nul pair , que tu demontres par exemple par recurrence .il est possible a mon avis que tu auras a discuter suivant la parite de n.
Bonne recherche.
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abdo-ok
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Re : Sigma et N 05/10/2012 à 14h51
wee c exactement la solution que jai..ms comme jai dit c tres tres longue...:(..
Une autre methode ????
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 Professeur en exercice
Re : Sigma et N 05/10/2012 à 15h24
Bj
@abdo-ok
Ok, j'essairai de t'en trouver une autre . Celle-ci , je l'ai faite l'an dernier avec des eleves de priere maths.En attendant , essaie de trouver une autre.
Bonne recherche
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Mohamed
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Re : Sigma et N 05/10/2012 à 18h57
Salut
soit [tex] n \in {\mathbb N}[/tex] tel que [tex]n \geq 2[/tex]
Pour tout [tex]k \in{\mathbb N}[/tex], posons [tex]\omega(k)=\max\{j \in {\mathbb N} / 2^j | k \}[/tex] et soit [tex]\omega_n = \max\{ \omega(k) / 2 \leq k \leq n \}[/tex]
Démontrer que : [tex](\exists ! k \in \{2,\cdots,n\}) \quad \omega_n = \omega(k)[/tex]
Conclure.(penser √† un d√©nominateur commun de la forme [tex]2^{\omega_n} (2 \alpha +1)[/tex] o√Ļ [tex]\alph \in {\mathbb N}[/tex].)
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Re : Sigma et N 06/10/2012 à 22h01
Hallo
La reponse de mohamed merite au moins un petit geste de abdook!!!!!
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 Visiteur
Re : Sigma et N 06/10/2012 à 22h39
Hallo
Il sufi de remarquer que quel que soit le nombre n ds la partie N*:
On peut trouver m et p ds La partie N avec : n=2^m(2p+1)
Et le resultat est imediat!!!
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abdo-ok
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Re : Sigma et N 07/10/2012 à 13h51
bonjour
merci mohamed pour ton aide je vais essayé votre methode
pour la tienne c'est :

on sait que [tex]\forall \in\mathbb{N} [/tex]
il existe un [tex] a_{i}[/tex] & [tex] q_{i}[/tex] de[tex] N^{2} [/tex] tq : [tex] n=2^{a_{i}} (2q_{i}+1) [/tex]
alors
[tex]\Large \sum_{p=1}^{p=n}{\frac{1}{k}} = \Large \sum_{i=1}^{i=n}{\frac{1}{2^{a_{i}} (2q_{i}+1) }}[/tex]

posons [tex] \alpha =Sup(a_{1},\cdots,a_{i}) [/tex] alors :
[tex] \Large \sum_{i=1}^{i=n}{\frac{1}{2^{a_{i}} (2q_{i}+1) }}= \frac{1}{2^{\alpha}} [/tex] + [tex]\Large \sum_{i=1}^{i=n}{\frac{1}{2^{a_{i}} (2q_{i}+1) }} [/tex] tl que [tex] i\neq \alpha [/tex]
[tex]= \frac{1}{2^{\alpha}} + \frac{A _{i}}{2^{\alpha-1} P} [/tex] tq : [tex] P = \Large \prod_{i=1}^{i=n}{(2q_{i} +1}) = [/tex] un nombre impair alors
[tex] = \frac{P}{2^{\alpha}P} + \frac{2A _{i}}{2^{\alpha} P} [/tex]

[tex] = \frac{P +2A _{i}}{2^{\alpha}P} [/tex]

[tex] = \frac{impair}{pair} \not\in \mathbb{N} [/tex]

mais je crois que il ya un probléme au niveau de [tex] \alpha[/tex] merci de voiloir me corriger la démonstration :)
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Re : Sigma et N 07/10/2012 à 16h13
Hallo , c'est très bien jouer, comme d'habitude.
J'attends voir le reste du jeu.
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Re : Sigma et N 07/10/2012 à 16h33
Hallo
C'est eczactement l'idée de PrE.
Il a bien dit que tu démontres [tex]Par exemple [/tex]En récurrence.
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 Professeur en exercice
Re : Sigma et N 16/10/2012 à 12h17
Bj
Quelques erreurs a vue d'Ňíil ,
1on sait que soit n de IN( c'est faux : il faut dire par exemple quel que soit n de IN*)
2il existe ....de IN^2 ( c'est faux , il faut dire par exemple ..... De IN)
3.....tel que i#"alpha"( c'est faux :il faut dire par exemple "alpha indice i"#"alpha", et il faut rappeler nsup ou égal à 2 pour valider l'écriture avec le "sigma" du second membre

....

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 Professeur en exercice
Re : Sigma et N 16/10/2012 à 18h47
Bj
Plut√īt , √† mon avis fallait -il poser alpha=alpha indice k =sup....et Dire ...i#k au lieu de i#alpha.
Autre erreur , il fallait écrire le produit de 2 puissance alpha avec le nombre impair correspondant et non pas la puissance toute seule.......
et aussi.....donc il faut
revoir cette égalité !!!!!!!
Merci
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 Professeur en exercice
Re : Sigma et N 16/10/2012 à 19h16
Bj
@Mohamed
À mon avis le premier max...n'existe pas si k=0.
Peut-être fallait il prendr k de IN*, d'ailleurs n sup ou égal à 2.
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Mohamed
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Re : Sigma et N 16/10/2012 à 20h25
Salut
Oui, PEE, tu as complétement raison pour l'existence et on n'en a pas besoin dans cet exercice que pour [tex] k \geq 2[/tex]
Merci pour la revision.
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 Professeur en exercice
Re : Sigma et N 16/10/2012 à 21h03
Bs
Oui , effectivement, je voulais dire k sup ou égal à 2.
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