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Dr Red1
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Espace vectoriel 08/07/2011 à 02h17
Salam ! j'espére que vous allez tous bien .

J'aimerais bien savoir comment ça se fait qu'un espace vectoriel que l'on nomme E possède une infinité d'éléments ( supposons qu'il n'est pas réduit au singleton 0 ) .
Autre chose, on suppose que E est muni d'une base que l'on notera X=(X1,X2,....,Xn) ( n est fini ) .
Puis je savoir pourquoi toute autre base Y de E a un card Y=n ?

Merci bcp .
Espace
Tarask
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Re : Espace vectoriel 08/07/2011 à 02h29
1)Déjà E est un ensemble , qu'il contienne une infinité d'éléments ou pas , il suffit qu'il vérifie les axiomes posés par Peano. (je me trompe ? )
2)Déjà si le cardinal de la base égal à n et par définition cardX= dimE et donc c'est fini on a la dimension de E égale à n alors une autre base doit impérativement être formée de n éléments . Synthèse :Toutes les bases d'un même espace vectoriel E ont le même nombre d'éléments !

Au plaisir .
Espace
Dr Red1
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Re : Espace vectoriel 08/07/2011 à 02h53
J'ai déclaré que E est un EV donc il vérifie déja les 4 axiomes .
Le profs nous a dit oralement que tout EV ( non réduit à {0} ) et qui vérifie biensûr les 4 axiomes possède une infinité d'éléments .
Espace
Tarask
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Re : Espace vectoriel 08/07/2011 à 03h07
Je crois pas !
Un K-espace vectoriel est un ensemble E (on ne précise pas si c'est fini ou infini !) muni du tralala ...
Je crois que ton prof a dit : il existe toujours une infinité de familles génératrices pour un espace vectoriel .
Je prie nos professeurs de nous Ă©claircir la situation !
Espace
Dr Red1
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Re : Espace vectoriel 08/07/2011 à 03h09
C'est ce que j'ai entendu moi .
On attend l'intervention de nos chérs professeurs !
Espace
sami.dh
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Re : Espace vectoriel 08/07/2011 à 06h22
Bonjour

1)J'aimerais bien savoir comment ça se fait qu'un espace vectoriel que l'on nomme E possède une infinité d'éléments :

Question un peu floue ^^ mais bon en général un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.donc quand l'étude des espaces vectoriels n'est pas un but en soi (souvent dans les cours d'analyse) on démontre qu'un espace E est un espace vectoriel juste pour pouvoir faire la somme et rester dans le cadre de cet espace.
On prend l'espace vectoriel[tex]E[/tex] des fonctions continues,c'est un espace vectoriel de dimension infini,pour s'en convaincre,prenons le sous-espaces vectoriel [tex]R[X][/tex] des polynômes de degré inférieur ou égal à n (un entier naturel non nul).on a [tex]R[X][/tex] de dimension [tex]n[/tex] est un sous-espace de [tex]E[/tex],alors comme la dimension du sous-espace est inférieur à la dimension de l'espace on a [tex]n\leq dim\ E[/tex] et ceci est valable pour tout entier naturel [tex]n[/tex],alors on fait tendre [tex]n[/tex] vers l'infini pour obtenir que la dimension de [tex]E[/tex] est infinie.

votre prof vous a dit que tout EV ( non réduit à {0} ) et qui vérifie bien sûr les 4 axiomes possède une infinité d'éléments,si il parlait des vecteurs c'est vrai,car si un vecteur [tex]a[/tex] appartient à un espace vectoriel,alors si on multiplie ce vecteur par un scalaire on obtient un autre élément du même espace,alors on peut obtenir une infinité de vecteurs comme ça.

2)Autre chose, on suppose que E est muni d'une base que l'on notera X=(X1,X2,....,Xn) ( n est fini ) .
Puis je savoir pourquoi toute autre base Y de E a un card Y=n:

Il suffit de revenir à la définition d'une base.

Bon courage !
Code LaTEX 
Espace
 CĂ© Moi Lhassane
Re : Espace vectoriel 08/07/2011 à 09h37
BJR au Forum !!

Dr Red1 a dit :
<< J'aimerais bien savoir comment ça se fait qu'un espace vectoriel que l'on nomme E possède une infinité d'éléments ( supposons qu'il n'est pas réduit au singleton 0 ) . >>

C'est un peu bizarre !
Mais considère donc un corps IK fini , il y en a beaucoup dans la nature par exemple IK=Z/pZ lorsque p est un entier PREMIER ...
Eh Bien , tu sais que IK a une structure d'espace vectoriel sur lui-mĂŞme et que sa dim est 1 .
Cependant IK reste de cardinal fini en tant qu'ensemble ....

J'espère t'avoir apporté un peu de lumière ....

Amicalement . LHASSANE
Espace
Dr Red1
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Re : Espace vectoriel 08/07/2011 à 13h49
Salut !!

*) sami.dh

Merci pour votre intervention. Vous avez démontré que la dim de l'ev des fonctions continues est infinie mais pourriez vous me dire quelle est la relation entre la dimension de E et le nombre des vecteurs ( fonction continue ) ?


Merci encore une fois !

**) CĂ© Moi Lhassane

J'ai très bien saisi ce que vous avez écrit Mr Lhassane. Merci infiniment !

SVP, dites moi est ce que ma question est incorrecte ou n'est pas bien formulé ?

Mes respects !
Espace
Mohamed
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Re : Espace vectoriel 08/07/2011 à 15h26
Salut.

J'imagine bien ce qui s'est passé (étant donné que votre prof n'allait pas dire n'importe quoi).
Lorsque vous avez fait la leçon des espaces vectoriels, je suppose quen vous aviez supposé que [tex]\mathbb K[/tex] est égal à [tex]\mathbb {R}[/tex] ou [tex]\mathbb{C}[/tex]
Dans ce cas si [tex]E[/tex] est [tex]\mathbb{K}-[/tex] ev non réduit à [tex]\{0\}[/tex] alors [tex]E[/tex] est infini car si [tex]u \in E \backslash \{0\}[/tex] alors l'applicaton [tex]f : x \mapsto xu[/tex] de [tex]\mathbb{K}[/tex] vers [tex]E[/tex] est injective , et comme [tex]\mathbb{K}[/tex] est infini , [tex]f(\mathbb{K})[/tex] aussi donc à fortiori [tex]E[/tex] ....

Sinon ,lorsque le corps commutatif [tex]\mathbb{K}[/tex] est quelconque alors , Lhassane à déjà parlé et j'aimerai ajouté ce qui suit :
[tex]\bullet[/tex]sami.dh a parlé de familles génératrices et j'aimerai préciser ce qui suit : si [tex]\mathbb{K}[/tex] est un corps commutatif fini , alors tout [tex]\mathbb{K}-[/tex]espace vectoriel de de dimension finie est lui même fini. Il admet un nombre infini de familles génératrices parce que la répétition est autorisée dans une famille.
Ainsi , si [tex](u,v)[/tex] est une famille génératrice de [tex]E[/tex] , il en est de même des familles : [tex](u,u,v) ; (u,u,u,v) ; ..; etc ...[/tex].
Cependant si on considére des parties génératrices (des ensembles) : elles sont en nombre fini.
[tex]\bullet[/tex] Il est possible qu'un corps [tex]\mathbb{K}[/tex] soit fini mais qu'un [tex]\mathbb{K}-[/tex] espace vectoriel soit infini. Exemple : [tex]\mathbb{K}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/tex] et [tex]E=(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{\mathbb{N}}[/tex] (ensemble des suites à valeurs dans [tex]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/tex] ) muni des lois naturelles déduites de celles de [tex]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/tex].
[tex]\bullet[/tex] Si [tex]\mathbb{K}[/tex] est un corps commutatif fini alors tout [tex]\mathbb{K}-[/tex] espace vectoriel [tex]E[/tex] de dimension finie [tex]n[/tex] est isomorphe Ă  [tex]\mathbb{K}^n[/tex], ce qui , une autre fois confirme la finitude de [tex]E[/tex] si [tex]\mathbb{K}[/tex] est fini.

Finalement , je vais m'adresser à Tarask pour sa réponse donnée à propos de la dimension :
Justement , la définition de la dimension n'a de sens que si on démontre le résultat cité (et c'est ça le sujet de la question initiale posée par Dr Red).
Je t'invite donc Ă  faire ce qui suit :
1) DĂ©finir un espace vectoriel de dimension finie
2) Prouver que si [tex]E [/tex] (non réduit à un singleton) est un espace vectoriel de dimension finie et si [tex]\mathscr B[/tex] et [tex]\mathscr B'[/tex] sont deux bases de [tex]E[/tex] alors elles ont même nombre d'élèments.
3) Tu définit finalement la notion de dimension d'un espace vectoriel de dimension finie.
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Dr Red1
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Re : Espace vectoriel 08/07/2011 à 16h11
Salut monsieur Mohamed,

Oui on a pris dans la leçon IK=IR ou IC .
J'attend la suite de votre réponse .

Merci bcp
Espace
Mohamed
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Re : Espace vectoriel 08/07/2011 à 16h31
Salut,
J'ai terminé ce que j'avais à dire...
Pour ce qui est de ta question : relation entre , voici des idées :
1)Si [tex]\mathbb K[/tex] est un corps fini , alors tout [tex]\mathbb{K}-[/tex] ev admet au moins une base (la démo dans toute se générailité n'est pas trés aisée)
2) Un [tex]\mathbb{K}-[/tex]espace vectoriel non nul [tex]E[/tex] est de dimension infinie si et seulement si aucune famille finie de vecteurs de [tex]E[/tex] n'est une base de [tex]E[/tex]


je te laisse le soin de prouver Ă  partir de ces deux points qu'un tex]\mathbb{K}-[/tex] ev de dimension infinie est lui mĂŞme infini.
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sami.dh
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Re : Espace vectoriel 08/07/2011 à 16h54
Salut

Puisque la dimension de E est infinie alors on peut trouver une infinité de fonction continues(fonction ln,les polynomes,l'exponentiel,les fonctions hyperboliques,les fonctions trigonométriques cos et sin...);


Espace
Dr Red1
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Re : Espace vectoriel 08/07/2011 à 17h46
Salam !

Mr mohamed, je vous remercie bcp .
Je vais réessayer de saisir ce que vous avez écrit car ça demande bcp de réflexion.
Pour éclaircir ce que je voulais comprendre, il se peut qu'il existe un Ik_EV qui contient un nombre indéfini de vecteurs !

Pour démontrer la relation entre ... je dois reconnaître que j'ai besoin de votre aide en écrivant ma question sous une forme d'une implication ou qlq chose d'autre pour pouvoir utiliser les indications données par votre honneur .

Sami
Je pense que E est déjà appelé l'ev des fct continués donc toute fonction continue doit forcément y appartenir. Ce que j'ai saisi de votre réponse c'est puisque son dim est infine donc il contient une infinité de fonctions continues !!! ( ça peut être des bettises )


Merci
Espace
Mohamed
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Re : Espace vectoriel 08/07/2011 à 18h23
Salut,

Ă  sami:

Plutôt : E admet une base d'après 1)
Notons la [tex] (f_i)_{i \in I} [/tex]
La liberté donne (en particulier) :
[tex]\forall (i,j) \in I^2 \quad i \neq j \Rightarrow f_i \neq f_j[/tex]
L'ensemble [tex]\{f_i / i \in I \}[/tex] est infini d'après 2)
Donc [tex]E[/tex] Ă  fortiori ...


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Espace
Tarask
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Re : Espace vectoriel 08/07/2011 à 20h09
Bonsoir ,
Je me suis absenté un peu , je m'excuse .

Je réponds à Monsieur Mohamed en s'appuyant sur le cours sur lequel je travaille.

1)Soit E un K-espace vectoriel où K est l'un des corps R ou C (ou bien un corps quelconque). On dit que E est de dimension finie s'il possède une famille génératrice finie.
2)ça m'a pris du temps :
Je vais me servir d'un théorème que j'avais noté l'autre fois .
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et soient G une famille génératrice finie de E et L une famille libre de E.
Alors L est finie et [tex]Card L\leq Card G[/tex]
(je n'ai pas de preuve pour ce théorème ....)

Revenons Ă  la question de M.Mohamed:
Soient B et B' deux bases de E .
alors B et B' sont à la fois libres et génératrices de E
et donc [tex]CardB\leq CardB'[/tex] (B libre et B' génératrice)
[tex]CardB'\leq CardB[/tex] (B' libre et B génératrice)
Alors Card B=Card B' ( c'est ça ?)

3)La dimension d' E.V de dimension finie est tout simplement le cardinal qui est commun de toutes ses bases . je me trompe ?

J'attends des remarques .

Merci.
Code LaTEX 
Espace
Dr Red1
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Re : Espace vectoriel 08/07/2011 à 23h13
Bonsoir,

Tarask, je pense que la 2éme question est correcte mais il reste à démontrer le théorème que tu as utilisé.

Merci.
Espace
Tarask
En Ligne 
Re : Espace vectoriel 08/07/2011 à 23h47
Bonsoir ,
J'essayerai ce soir de le démontrer mais je ne promets rien et si je n'y arrive pas , que quelqu'un de nos professeurs le fait (enfin s'ils ont du temps ) .

Merci.
Espace
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