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espaces vectoriels et formes linĂ©aires 30/09/2011 à 21h50
bonjour, bonsoir

j'ai besoin d'une réponse a quelques exos que j'ai confronté

1> soit phi l'application qui va de R 2n-1[X] __> R ^ 2n qui assosie a P __> (P(a1),....,P(an),P'(a1),....,P'(an))
soit (ek) 1<=k<=2n base de R ^2n et Hk l'image de ek par l'application phi^-1

j'ai montré que phi est un isomorphisme et que Hk est une base puis il faut exprimer les Hk en fonction de Lk et leurs dérivées

merci pour votre aide et excusez moi pour mon Ă©criture latex ...
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 CĂ© Moi Lhassane
Re : espaces vectoriels et formes linĂ©aires 01/10/2011 à 15h14
BJR !!

J'essaie de décoder ton problème ....
Est ce que << R 2n-1[X] >> signifie l'ev formé des polynômes de IR[X] qui sont de degré au plus (2n-1) et du polynôme nul ???????
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 V
Re : espaces vectoriels et formes linĂ©aires 01/10/2011 à 22h00
[tex]\large\begin{array}{l|rcl} \varphi : & \mathbb{R_{2n-1}[X]} & \to & \mathbb{R^{2n}} \ & P & \to & (P(a_{1}),P(a_{2},.....,P(a_{n}),P'(a_{1}),....,P'({a_{n}))\end{array}[/tex]

j'ai montré que [tex] \varphi [/tex] est un isomorphisme d'espaces vectoriels


et que [tex]H_{k}[/tex] l'image de [tex] e_{k} [/tex] par [tex] \varphi ^{-1} [/tex] est une base de [tex] R_{2n-1}[X] [/tex]

avec 1<=k<=2n et ek la basecanonique de [tex] R^{2n} [/tex]

laquestion est d'exprimerles Hk en fonction de Lk (polynomes d'interpolations de lagrange associés a a1,...,an ) etleurs dérivés
merci et veuillez me pardonner
s'il y'a autre chose que je puisse faire je suis la
Code LaTEX 
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 CĂ© Moi Lhassane
Re : espaces vectoriels et formes linĂ©aires 03/10/2011 à 22h16
Salut V !!

VoilĂ  !! Je suis de retour .
Tout en croyant à ta bonne foi , tu as dit avoir prouvé que PHI est un isomorphisme ... Je veux bie MAIS celà est FAUX !!

Il est clair que PHI est LINEAIRE
et que les espaces vectoriels de départ et d'arrivée sont de MEME DIMENSION 2n
Mais PHI n'est pas INJECTIVE ....

En effet soit P(X)={ (X-a1).(X-a2) ....... (X-an)}^2
alors il est IMMEDIAT que PHI(P(X)=0
AInsi KerPHI est la droite vectorielle engendrée par P(X) et donc KerPHi <> {0}

Partant de là la 2ème Question qui reste CONFUSE n'a pas lieu d'être posée !!

Amicalement. LHASSANE
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 CĂ© Moi Lhassane
Re : espaces vectoriels et formes linĂ©aires 04/10/2011 à 14h56
Je suis DSL et Je suis de bonne foi !!

Si mes calculs sont justes ma conclusion est erronnée du fait que j'ai oublié que l'on travailllait dans
IR(2n-1)[X] . Le polynôme P(X) vérifie bien PHI(P(X))=0 mais seulement il est de degré 2n .
Ainsi PHI est bien INJECTIVE comme tu l'as annoncé !!
Autant pour Moi donc !!!!
Le seul polynĂ´me de IR(2n-1)[X] tel que PHI(P(X))=0 c'est bien le polynĂ´me IDENTIQUEMENT NUL !!

Pour la question suivante , je suis entr'ain de faire les calculs pour H1 et H(n+1) qui sont sensiblement différents .....

a++++ LHASSANE
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