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EL MOUFID EL MEHDI
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Question dans l'alg√®bre 28/02/2012 à 16h57
Bonjouur,
svp ca fait 2 heures que je suis sur une question d'algèbre mais toujours rien ...calculer:
[tex]\Large \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}_{n}}^{}{inf(i,j)}[/tex]
Merci d'avance
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Re : Question dans l'alg√®bre 28/02/2012 à 17h06
BJR au Forum .
BJR El-Mehdi

Je veux bien t'aider ... Mais c'est quoi [tex]N_{n}[/tex] ???
Est-ce , comme je l'ai compris ( par l'usage ) l'ensemble des entiers naturels k tels que 0<=k<=n ???

Amicalement . LHASSANE
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Re : Question dans l'alg√®bre 28/02/2012 à 17h27
Re- BJR ..

Si c'était le cas , il faudrait l'écrire ainsi :
[tex]\Large \sum_{i,j\in\mathbb{N}_{n}}^{}{inf(i,j)}[/tex]

Nn x Nn ={0,1,2, ..... ,n}x{0,1,2, ..... ,n} peut être PARTITIONNE en TROIS ensembles :

A={(i,j) dans INxIN , 0<=i<j<=n }
B={(i,j) dans INxIN , 0<=j<i<=n }
et enfin
C={(i,j) dans INxIN , 0<=i=j<=n }

Si tu utilises l'associativité de l'addition , tu tomberas sur TROIS SOMMES :
Un SIGMA étendu à A qui vaut SIGMA {i=0 à n-1 ; i }=(n-1).n/2
Un SIGMA étendu à B qui vaut SIGMA {j=0 à n-1 ; j }=(n-1).n/2
et enfin
Un SIGMA étendu à C qui vaut SIGMA {j=0 à n ; j }=(n+1).n/2


La somme de ces trois SIGMA te donne TA SOMME , ce sera donc
[tex]\Large \sum_{i,j\in\mathbb{N}_{n}}^{}{inf(i,j)}[/tex]=n(3.n -1)/2

Sauf Erreur Bien Entendu ....

Amicalement . LHASSANE

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EL MOUFID EL MEHDI
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Re : Question dans l'alg√®bre 28/02/2012 à 23h16
Bonsoir,
dsl pour le retard,merci Mr LAHSSANE pour ta réponse mais moi j'ai essayée de trouver le [tex]\Large \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}_{n}}^{}{sup(i,j)}[/tex] et aprés avec sup (i,j)+inf(i,j)=i+j on a donc [tex]\Large \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}_{n}}^{}{inf(i,j)}+\Large \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}_{n}}^{}{sup(i,j)}=\Large \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}_{n}}^{}{i+j}[/tex]
et aprés on a [tex]\Large \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}_{n}}^{}{i+j}=n\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n^{2}(n+1)}{2}[/tex]et aprés de longues calculs de A:=somme de sup(i,j) je trouve
[tex]\Large \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}_{n}}^{}{sup(i,j)}=\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}[/tex]
comme ca je conclus que [tex]\Large \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}_{n}}^{}{inf(i,j)}=\frac{n(n+1)(2n+1}{6}[/tex]
si vous voulez que je detaille plus une étape je serais dispo.
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Re : Question dans l'alg√®bre 28/02/2012 à 23h36
BSR au Forum.
BSR El-Mehdi ;

J'ai trois observations à te faire :

1) Tu introduis une deuxième somme [tex]\Large \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}_{n}}^{}{sup(i,j)}[/tex] dont le calcul est similaire à celle que tu cherches ...... donc autant calculer directement ta SOMME ( comme je te l'ai proposé .... )

2) Ton résultat suivant :
[tex]\Large \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}_{n}}^{}{i+j}=n\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n^{2}(n+1)}{2}[/tex] me parait faux !!
Ce serait plutot égal à n.(n+1) tout simplement .

3) Ton résultat final est donc faux , tu pourrais simplement le vérifier pour par exemple n=3 .


Amicalement . LHASSANE
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EL MOUFID EL MEHDI
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Re : Question dans l'alg√®bre 28/02/2012 à 23h57
Merci MR LHASSANE
pour ta deuxieme remarque on a

[tex]\begin{eqnarray}\Large \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}_{n}}^{}{i+j} &=& \Large \sum_{i=1}^{i=n}{(\Large \sum_{j=1}^{j=n}{i+j})} \\ &=& \Large \sum_{i=1}^{i=n}{(ni+\frac{n(n+1))}{2}} \\ &=& n\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n^{2}(n+1)}{2} \end{eqnarray}[/tex]

Je suis entrain de verifier les autres remarques.
MErci une autre fois.
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EL MOUFID EL MEHDI
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Re : Question dans l'alg√®bre 29/02/2012 à 00h25
Pour ta premiére remarque :

[tex]\Large \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}_{n}}^{}{sup(i,j)}=\Large \sum_{i=1}^{i=n}{(\Large \sum_{j=1}^{j=n}{sup(i,j)})}[/tex]

aprés on a
[tex]\begin{eqnarray}(\Large \sum_{j=1}^{j=n}{sup(i,j)})&=&(\Large \sum_{j=1}^{j=i}{sup(i,j)})+(\Large \sum_{j=i}^{j=n}{sup(i,j)}) \\ &=&(\Large \sum_{j=1}^{j=i}{sup(i,j)})+(\Large \sum_{j=1}^{j=n}{sup(i,j)})-(\Large \sum_{j=1}^{j=i}{sup(i,j)}) \end{eqnarray}[/tex]

avec[tex]\sup(i,j)=\large \left\{i pour 1\leq j \leq i \\j pour i+1\leq j \leq n\\right.[/tex]

et donc
[tex](\Large \sum_{j=1}^{j=n}{sup(i,j)})= i^{2}+\frac{n(n+1)}{2}-\frac{i(i+1)}{2}=\frac{i(i-1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}[/tex]

et aprés on fais la premiére somme et on a le résultat.
MErci
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EL MOUFID EL MEHDI
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Re : Question dans l'alg√®bre 29/02/2012 à 00h38
Et pour ta troisiéme remarque pour n=3 ca me donne le résultat
(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(2,2),(3,3), ON A DONC 1+1+1+1+1++2+2+2+3=14 et (3*4*7)/6=14
j'éspére qu'on est d'accord ?
Merci
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Re : Question dans l'alg√®bre 29/02/2012 à 09h46
BJR au Forum .
BJR El-Mehdi !!

Oui , Je me suis planté hier !
DSL , ce n'était pas la grande forme pour Moi hier soir à 23h ....

Je laisse mes Posts en l'état sans modification , sinon le Topic serait illisible ...

Voilà ou se trouve mon erreur ( de calcul ) :

<< Un SIGMA étendu à A qui vaut SIGMA {i=0 à n-1 ; i }=(n-1).n/2
Un SIGMA étendu à B qui vaut SIGMA {j=0 à n-1 ; j }=(n-1).n/2 >>



Ces deux SIGMA sont égaux en raison de la symétrie en i et j et leur valeur commune , c'est :
SIGMA { i=0 à n-1 ; SIGMA { j=i+1 à n ; i }}
=SIGMA { i=0 à n-1 ; i.(n-i) }=SIGMA { i=0 à n-1 ; n.i - i^2 } = etc ... = (1/6).n.(n-1).(n+1)


et tout à la fin , ta somme vaudra (1/6).n.(n+1).(2.n + 1) , résultat qui est aussi celui de la somme
SIGMA {i=0 à n ; i^2 }

Mais la démarche est BONNE , c'est l'évaluation qui est erronnée .

Amicalement . LHASSANE

PS : Voilà une petite Pensée d'Al-Kindi ..... qui résume en substance la démarche professionnelle que j'ai toujours eue avec mes étudiants . Celà m'a valu respect et considération durant toute ma carrière d'Enseignant & Universitaire-Chercheur .

¬ę Nous ne devrions pas... avoir honte de reconna√ģtre la v√©rit√© et de l'adopter, quelle que soit son origine, m√™me si nous la tenions des g√©n√©rations pr√©c√©dentes ou de peuples √©trangers. La v√©rit√© n'est jamais indigne; elle ne diminue jamais qui la dit, ni qui la re√ßoit. Au contraire, la v√©rit√© ennoblit ¬Ľ

Ab√Ľ Y√Ľsuf Ibn Ishaq Al-Kindi ,
Philosophe Arabo-Islamique
(v. 801 - Baghd√Ęd )
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EL MOUFID EL MEHDI
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Re : Question dans l'alg√®bre 29/02/2012 à 19h11
BSR
Merci MR Lhassane pour votre réponse, pour votre humilité et pour la citation aussi ;) wéé toute à fait , un scientifique qui est pas modeste ne mérite pas être scientifique.

bref je trouve votre méthode est très simple, très courte aussi que la mienne car moi j'ai ajouté des machins qui compliquent plus qu'ils facilitent.

MErci une autre fois.
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Mohamed
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Re : Question dans l'alg√®bre 29/02/2012 à 19h49
Salut
@ EL MOUFID El MEHDI : oui, et tuas aussi tapper des lignes longues :-) que j'ai failli mettre dans l'ordre hier :-)
@Lhassane : Merci pour la précieuse citation.
as tu reçu mon e-mail? je n'ai à présent reçu aucune réponse de ta part :-( et j'attends toujours !
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Lotus_Bleu
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Re : Question dans l'alg√®bre 29/02/2012 à 23h34
BSR au Forum .

@ Mohamed : je n'ai du tout oublié !!!
@ El-Mehdi : Merci beaucoup . Et toujours à propos de ton exo , je te rappelle une identité que l'on peut utiliser aussi pour varier la Démo , il s'agit de :

Pour tout x et y dans IR , Min(x;y) = (1/2).{ x + y - |x-y|} .

Amicalement . LHASSANE
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 sqrt
Re : Question dans l'alg√®bre 01/03/2012 à 21h14
Bonsoir,

j'ai une autre idée dont je ne suis pas sur, c'est d'étudier le cas i>j alors la somme de l'inf de (i,j) est la somme de i qui est n(n+1)/2 , ainsi pour les autres cas qui restent (j=i et j>i) .

à l'attente de votre réponse.
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evariste

Admin
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Re : Question dans l'alg√®bre 01/03/2012 à 22h40
Bonsoir,

Voici une autre méthode qui me vient d'une réminiscence de la période prépa:

On considère [tex]a_{ij}=1[/tex] si [tex]i\geq j[/tex] et [tex]a_{ij}=0 [/tex] sinon. Alors [tex]a_{ik}a_{jk}=1 [/tex] si [tex]i\geq k[/tex] et [tex]j\geq k[/tex] càd [tex]k\leq inf(i,j)[/tex] et [tex]a_{ik}a_{jk}=0 [/tex] sinon.

Alors [tex]\large inf(i,j)= \sum_{k=1}^n a_{ik}a_{jk}[/tex]. On en déduit que

[tex]\large \sum_{(i,j)\in \mathbb{N}_n}\inf(i,j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^na_{ik}a_{jk}=\sum_{k=1}^n(\sum_{i=1}^na_{ik})(\sum_{j=1}^n a_{jk})[/tex]

Or [tex]\sum_{i=1}^na_{ik}=\sum_{j=1}^na_{jk}=n-k+1[/tex]. Donc [tex]\large \sum_{(i,j)\in \mathbb{N}_n}\inf(i,j)=\sum_{k=1}^n(n-k+1)^2=\sum_{k=1}^nk^2[/tex].

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