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Axxx
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theoreme de la B.o.n incompl√©te 06/01/2012 à 00h37
bonsoir,



Théoréme :

Pour toute famille orthonormale [tex](e_1; ... ; e_p )[/tex] d'un espace vectoriel euclidien E,

Il existe [tex](e_{p+1}; ... ; e_n)[/tex] ( o√Ļ [tex] n=dim(E)[/tex] ) tels que [tex](e_1; ... ; e_n)[/tex]soit une b.o.n de E .


Pouvez mieux éclaircir, le théoréme. par des exemples et exercices ( Merci à tout le monde d'avance ).


Axxx;@+
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evariste

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Re : theoreme de la B.o.n incompl√©te 06/01/2012 à 14h04
Bonjour,

Une réponse directe serait de dire qu'un sous espace d'un espace euclidien admet un supplémentaire orthogonale et considérer donc [tex]G=\text{vect}\{e_1,\cdots,e_p\}^{\perp}[/tex] puis considérer une base orthonormale de [tex]G[/tex], la réunion des deux bases définit une base orthonormale de [tex]E[/tex].

Un autre réponse plus concrète serait d'abord de compléter la base par une famille a [tex]F=\{f_{p+1},\cdots,f_n\}[/tex] de sorte à obtenir une base de [tex]E[/tex] et orthonormaliser [tex]\text{vect}\{e_1,\cdots,e_p\}\cup F[/tex] par le procéder de Schmidt pour obtenir une base orthonormale de [tex]E[/tex]. Cette dernière méthode est plus adapté aux calculs car elle évite de calculer le supplémentaire orthogonale de [tex]G=\text{vect}\{e_1,\cdots,e_p\}[/tex].
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