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Othmaaan
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Polynôme caractéristique (cours) 01/08/2011 à 18h02
Bonjour ,
Je voudrais avoir un éclaircissement sur une proposition :

Soit [tex]A[/tex] une matrice carrée d'ordre [tex]n[/tex].
[tex]\det(A-XI)[/tex] est polynôme de degrés [tex]n[/tex] indépendant de la base choisie.

on peut commencer par montrer que c'est un polynôme de degrés [tex]n[/tex] en notant [tex]A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}[/tex] et en utilisant la définition du déterminant.
Mais comment faire pour montrer qu'il est indépendant de la base choisie ?

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 Bison_Fûté
Re : Polynôme caractéristique (cours) 01/08/2011 à 18h31
BJR Othmane !

Je crois comprendre de quoi il ressort ....
La matrice A serait la matrice associée à un ENDOMORPHISME f de IR^n relativement à une base B .
C'est toujours faisable en prenant pour B la Base Canonique de IR^n et définir f de la manière suivante :
Si B={e1,e2, ...... , en} et si A=(aij)i,j i indice de ligne , j indice de colonne
alors f(ej)= SIGMA { i=1 à n ; aij.ei } pour chaque i variant de 1 à n
Ce processus définit entièrement l'endomorphisme f .

SI MAINTENANT , on change de base sur IR^n , mettons qu'on prenne B' cette fois pour base alors la matrice de f relativement à cette nouvelle base B' serait de la forme B=P^(-1).A.P

ou P est la matrice de changement de base ( Voir Cours .... )
Dans ces circonstances B-X.I=P^(-1).A.P - X.I = P^(-1).{A-X.I}.P
du fait des règles du calcul matriiciel et de là :
Dét (B-X.I)=Dét {P^(-1).{A-X.I}.P}=Dét(P^(-1). Dét(A-X.I).Dét(P)
et celà vaut trivialement Dét(A-X.I)

Ainsi Dét(B-X.I)=Dét(A-X.I)

autrement dit le polynôme caractéristique n'est PAS SENSIBLE au changement de base sur IR^n.


Amicalement et Ramadan Moubarrak !!
LHASSANE
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