Logo-de-mathsland.com
 simo123
Oral d'ENS 23/11/2012 à 01h52
Bonsoir au forum;
Je tiens à vous remercier des efforts inlassables que vous munissez !
Ma question tourne autour d'un exercice ,un oral de l' E.N.S (u.l.m) qui m'a beaucoup dérangé ! je vous donne l'une de ses questions sur laquelle j'ai séché : soit (fi) i entre 1 et n une famille de formes linéaires de Mn(R) qui à toute matrice fi fait correspondre la somme de tous les éléments de la ligne numéro i de la matrice et soit V= intersection des [tex](fi)^ {-1}[/tex](1) (image réciproque de 1 par fi), ou encore ensemble des matrices stochastiques ... alors la question est de démontrer que dimV=n²-n
(indication :on peut remarquer que les fi sont libres ...) chose que je n'arrive pas à voir .Pouvez vous m'aider si c'est possible ?
Je vous remercie d'avance .
Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : Oral d'ENS 23/11/2012 à 03h20
Salut
[tex]\bullet[/tex] Avant tout, il ne faut pas croire que [tex]V[/tex] a une structure d'espace vectoriel( c'est un espace affine de direction [tex]W = \bigcap_{i=1}^n \ker f_i[/tex] donc [tex]\dim V = \dim W.[/tex] )
[tex]\bullet[/tex] Le cours de la dualité te donne un résulta central à savoir :
Soit [tex]f[/tex] l'application linéaire de [tex]M_n(K)[/tex] vers [tex]K^n[/tex] tel que [tex](\forall A \in M_n(K) \quad f(A) =(f_1(A), \cdots,f_n(A))[/tex]. Alors [tex]f[/tex] est surjective si et seulement si la famille [tex](f_1,\cdots, f_n)[/tex] est libre.
Tu utilises ensuite le théorème du rang et tu déduit la dimension de [tex]\ker f[/tex]. Je te laise trouver une relation entre [tex]\ker f[/tex] et les [tex]\ker f_i[/tex]
[tex]\bullet[/tex] Pour la liberté de la famille soit [tex]\lambda_1, \cdots , \lambda_n[/tex] des scaliares tel que :[tex]\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i f_i=0[/tex]. pour [tex]k \in\{1,\cdots, n\}[/tex] quelconque, tu appliques cette relation à la matrice élémentaire [tex]E_{kk}[/tex] dont tous les termes sont nuls sauf celui de la ligne et la colonne [tex]k[/tex] qui vaut [tex]1.[/tex]...

PS1 : J'allais dormir à 2h00 mais j'ai translaté de 30 mn pour te secourir. Donc pardon si j'étais succint et si tu ne comprends pas on se verra aprés. Bonne chance !

PS2: Tu trouves ici le DS no1 que j'ai donné cette année à ma classe dans lequel le résultat central ci-dessus est démontré en dimension quelconque (le programme prévoit ce résultat en dim finie).
Code LaTEX 
Espace
 simo123
Re : Oral d'ENS 23/11/2012 à 16h12
Bonjour

Je vous remercie chaleureusement mr Mohamed !Comme toujours vous étiez à la hauteur !
J'ai très bien compris ce que vous avez dit ,surtout j'ai bel et bien pensé et même utilisé le résultat central ,comme quoi c'est l'unique manière de tirer le n² ,mais ce que je ne suis pas arrivé pas à voir c'était le fait que la direction de V est W (malheureusement je suis très novice en ce qui concerne les espaces affines ) maintenant ça y est tout est clair .

En regardant le DS que vous avez proposé ,j'ai remarqué que vous avez parlé des orthogonaux d'un ensemble vis-à-vis des formes linéaires ,et que vous avez explicité un lien très important entre espace dual et transposée d'une application ,cela m'a été très utile car ,je savais qu'il existait un lien entre transposée et espace dual ,mais à travers la partie 3 vous me l'avez explicitement justifié .

Je m'excuse de vous avoir fait perdre du temps monsieur !Et je vous remercie encore une fois pour votre intervention rapide !
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : Oral d'ENS 23/11/2012 à 16h50
Salut,
Je t'en prie simo123! ce n'est jamais une perte de temps de pouvoir aider quelqu'un.
Je sais l'occasion pour décrire mieux [tex]V[/tex]:
Remarquons (avec les notations ci-dessus et [tex]I_n[/tex] désignant la matrice unité de [tex]M_n(K))[/tex] que : [tex] f(I_n)=(1,1,\cdots, 1)[/tex]
Par suite une √©quation de [tex]V[/tex] est [tex]f(X)=f(I_n)[/tex] d'o√Ļ [tex]V=I_n+\ker f = I_n + W[/tex]
Autrement dit [tex]V[/tex] est le sous-espace affine de [tex]M_n(K)[/tex] passant par [tex]I_n[/tex] et de dirction [tex]\ker f (=W) [/tex]
Pour ton attitude vis √† vis des espace affines, il n'y a rien de sp√©cial √† conna√ģtre.
Pour le programme de sp√© on a surtout besoin des espaces affines de la forme [tex]F+a[/tex] o√Ļ [tex] E[/tex] est un [tex]K-[/tex] ev et [tex] F[/tex] un sev de [tex]E[/tex] et [tex] a \in E.[/tex]
On trouve ça lors de l'étude des suites récurrentes linéaires ou les équations dofférentielles linéaires ou en dualité (Systèmes linéaires notamment).
On a en général un ensemble [tex]A[/tex] d' equation [tex] f(x)=b[/tex] avec [tex] f \in L(E,F)[/tex] et [tex]b \in F[/tex] ( [tex] E[/tex] et [tex] F[/tex] sont des [tex]K-[/tex] ev ). Disons donc que : [tex]A=\{x \in E / f(x)=b \}[/tex]
Deux cas sont possibles :
1ER cas [tex]A[/tex] est vide , ce qui veut dire : [tex] b \not \in \text{Im} f[/tex] , terminé , rien à dire.
2EM cas : [tex] b \in \text{Im} f[/tex] , donc , [tex]A[/tex] est non vide alors on peut décrire mieux [tex] A[/tex]: Soit [tex]a_0 \in A[/tex] alors [tex] A = a_0 + \ker f[/tex] (en effet, pour [tex]x \in E,[/tex] on a : [tex]x \in A \Leftrightarrow f(x)=b=f(a_0) \Leftrightarrow f(x-a_0) = 0 \Leftrightarrow x-a_0 \in \ker f \Leftrightarrow x \in a_0 + \ker f[/tex] ) . Ainsi [tex]A [/tex] est le sous-espace affine passant par [tex]a_0[/tex] et de direction [tex]\ker f[/tex] .
Le plus difficile dans la pratique c'est de trouver [tex]a_0 [/tex]!
Par exemple dans le cas des équations differentielles linéaires [tex]a_0[/tex] c'est une solution particulière de l'équation non homogène ( avec second membre) tandis que [tex]\ker f[/tex] est l'ensemble des solutions de l'équation homogène.
Je ne veux pas te laisser ce résidu concernant les espaces affines. C'est pour cela que je t'invite à me poser toutes les questions qui te gènenent dans ce sujet ici ou en privé ou à travers mon site perso.
Voilà et bon courage !
Code LaTEX 
Espace
 simo123
Re : Oral d'ENS 23/11/2012 à 21h01
Bonsoir ;

Je vous remercie mr Mohamed , maintenant je vois désormais très clair ,car au début je n'arrivais pas à voir comment on peut rapidement détecter la structure de l'ensemble V (espace vectoriel,ou affine ...) .Mais avec cette idée des morphismes affines ,c'est désormais très clair .Pour les questions ,j'en ai des milliers... J'essaierais de les poser graduellement.
D'ici là portez vous bien !
Très cordialement !
Espace
Sujet verrouilť par Vous êtes sur l'ancien Forum. Celui-ci est fermé. Cliquer ici pour accéder au nouveau Forum