Othmaaan
|
|
|
AlgÚbre linéaire |
11/08/2011 à 19h51 |
Bonjour, en travaillant je me suis posé une question :
Soit [tex]E[/tex] un espace vectoriel de dimension finie [tex]=n[/tex] et [tex]F[/tex] un sous-espace vectoriel de [tex]E[/tex]
Si [tex]\mathcal{B}=(e_1,..,e_n)[/tex] est une base de [tex]E[/tex] alors [tex]\mathcal{B}\cap F[/tex] (abus d'écriture) est elle une base de [tex]F[/tex] ? |
Code LaTEX |
 |
|
|
Re : AlgÚbre linéaire |
11/08/2011 à 20h01 |
BJR OthĂčmane !!
Question intéressante ....
La réponse avec un exemple ....
La réponse est NON .
Tu prends E=IRxIR espace vectoriel de dim 2 avec B={i ; j} sa base canonique traditionnelle
i=(1,0) et j=(0,1)
Soit F le sev de IRxIR engendré par i+j=(1,1) il est de dimension 1
Dans cette situation [tex]\mathcal{B}\cap F[/tex] =VIDE ne saurait ĂȘtre une BASE de F !!!! |
Code LaTEX |
 |
|
Othmaaan
|
|
|
Re : AlgÚbre linéaire |
11/08/2011 à 20h06 |
Réponse rapide , claire et nette.
Je me demande quand mĂȘme si le rĂ©sultat va changer dans le cas oĂč l'intersection est non vide ...
Merci! |
 |
|
|
Re : AlgÚbre linéaire |
11/08/2011 à 20h20 |
Re-BJR Othmane !!
Toujours avec le mĂȘme exemple ...
Tu prends F égal au sev de IRxIR engendré par i et i+j c'est donc E tout entier !!!
On aura alors [tex]\mathcal{B}\cap F[/tex] ={i} qui ne saurait ĂȘtre une base de F .
CelĂ reste un systĂšme libre tout court ..... |
Code LaTEX |
 |
|
Othmaaan
|
|
|
Re : AlgÚbre linéaire |
11/08/2011 à 23h24 |
Bonsoir
Le rĂ©sultat est donc faux en gĂ©nĂ©ral , merci pour votre intĂ©rĂȘt. |
 |
|
Mohamed
|
|
|
Re : AlgÚbre linéaire |
12/08/2011 à 00h49 |
Salut,
On peut mĂȘme donner un rĂ©sultat plus fort :
Si E est un espace vectoriel et H un hyperplan de E alors il existe une base de E dont tous les vecteurs n'appartiennent pas Ă H.
(à démontrer)
Pusque un sous-espace vectoriel propre quelconque peut ĂȘtre toujours conteneu dans un hyperplan, le rĂ©sultat est vrai si on remplace ci-dessus H par un ssous-espace vectoriel propre F de E. |
 |
|
Othmaaan
|
|
|
Re : AlgÚbre linéaire |
23/08/2011 à 20h09 |
Bonjour ,
Le rĂ©sultat mâintĂ©resse et parait trĂšs intĂ©ressant. un plan ou une idĂ©e de dĂ©monstration peut-ĂȘtre ?
Merci!! |
 |
|
Mohamed
|
|
|
Re : AlgÚbre linéaire |
24/08/2011 à 04h24 |
Salut,
Tu part de la définition d'un hyperplan.
si [tex]H [/tex] est un hyperplan de [tex]E[/tex] alors [tex]H[/tex] est de codimension [tex]1.[/tex]
Il existe donc [tex]e \in E[/tex] tel que [tex]H \oplus {\mathbb K} e = E[/tex].
Soit [tex](e_i)_{i \in I}[/tex] une base de [tex]H[/tex]
Alors [tex](e,(e_i)_{i \in I} )[/tex] est une base de [tex]E[/tex]
Que peut on dire de [tex] (e,(e+e_i)_{i \in I})[/tex] ? |
Code LaTEX |
 |
|
Othmaaan
|
|
|
Re : AlgÚbre linéaire |
24/08/2011 à 19h13 |
Je pense qu'il n'est pas trop difficile de montrer que cette famille est aussi une base de E (en dimension finie). En dimension infinie j'y réfléchis encore.
J'ai travaillĂ© sur un rĂ©sultat qui utilises le mĂȘme procĂ©dĂ©: Tout sous-espace vectoriel admet une infinitĂ© de supplĂ©mentaires.
Je vois d'ailleurs que cette idée de somme revient beaucoup. Merci!
|
 |
|