Logo-de-mathsland.com
Othmaaan
En Ligne 
AlgĂšbre linĂ©aire 11/08/2011 à 19h51
Bonjour, en travaillant je me suis posé une question :
Soit [tex]E[/tex] un espace vectoriel de dimension finie [tex]=n[/tex] et [tex]F[/tex] un sous-espace vectoriel de [tex]E[/tex]
Si [tex]\mathcal{B}=(e_1,..,e_n)[/tex] est une base de [tex]E[/tex] alors [tex]\mathcal{B}\cap F[/tex] (abus d'Ă©criture) est elle une base de [tex]F[/tex] ?
Code LaTEX 
Espace
 CĂ© Moi Lhassane
Re : AlgĂšbre linĂ©aire 11/08/2011 à 20h01
BJR OthĂčmane !!

Question intéressante ....
La réponse avec un exemple ....
La réponse est NON .
Tu prends E=IRxIR espace vectoriel de dim 2 avec B={i ; j} sa base canonique traditionnelle
i=(1,0) et j=(0,1)
Soit F le sev de IRxIR engendré par i+j=(1,1) il est de dimension 1

Dans cette situation [tex]\mathcal{B}\cap F[/tex] =VIDE ne saurait ĂȘtre une BASE de F !!!!
Code LaTEX 
Espace
Othmaaan
En Ligne 
Re : AlgĂšbre linĂ©aire 11/08/2011 à 20h06
RĂ©ponse rapide , claire et nette.
Je me demande quand mĂȘme si le rĂ©sultat va changer dans le cas oĂč l'intersection est non vide ...
Merci!
Espace
 CĂ© Moi Lhassane
Re : AlgĂšbre linĂ©aire 11/08/2011 à 20h20
Re-BJR Othmane !!

Toujours avec le mĂȘme exemple ...
Tu prends F égal au sev de IRxIR engendré par i et i+j c'est donc E tout entier !!!

On aura alors [tex]\mathcal{B}\cap F[/tex] ={i} qui ne saurait ĂȘtre une base de F .
CelĂ  reste un systĂšme libre tout court .....
Code LaTEX 
Espace
Othmaaan
En Ligne 
Re : AlgĂšbre linĂ©aire 11/08/2011 à 23h24
Bonsoir
Le rĂ©sultat est donc faux en gĂ©nĂ©ral , merci pour votre intĂ©rĂȘt.
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : AlgĂšbre linĂ©aire 12/08/2011 à 00h49
Salut,

On peut mĂȘme donner un rĂ©sultat plus fort :

Si E est un espace vectoriel et H un hyperplan de E alors il existe une base de E dont tous les vecteurs n'appartiennent pas Ă  H.
(à démontrer)

Pusque un sous-espace vectoriel propre quelconque peut ĂȘtre toujours conteneu dans un hyperplan, le rĂ©sultat est vrai si on remplace ci-dessus H par un ssous-espace vectoriel propre F de E.
Espace
Othmaaan
En Ligne 
Re : AlgĂšbre linĂ©aire 23/08/2011 à 20h09
Bonjour ,
Le rĂ©sultat m’intĂ©resse et parait trĂšs intĂ©ressant. un plan ou une idĂ©e de dĂ©monstration peut-ĂȘtre ?
Merci!!
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : AlgĂšbre linĂ©aire 24/08/2011 à 04h24
Salut,
Tu part de la définition d'un hyperplan.
si [tex]H [/tex] est un hyperplan de [tex]E[/tex] alors [tex]H[/tex] est de codimension [tex]1.[/tex]
Il existe donc [tex]e \in E[/tex] tel que [tex]H \oplus {\mathbb K} e = E[/tex].
Soit [tex](e_i)_{i \in I}[/tex] une base de [tex]H[/tex]
Alors [tex](e,(e_i)_{i \in I} )[/tex] est une base de [tex]E[/tex]
Que peut on dire de [tex] (e,(e+e_i)_{i \in I})[/tex] ?
Code LaTEX 
Espace
Othmaaan
En Ligne 
Re : AlgĂšbre linĂ©aire 24/08/2011 à 19h13
Je pense qu'il n'est pas trop difficile de montrer que cette famille est aussi une base de E (en dimension finie). En dimension infinie j'y réfléchis encore.
J'ai travaillĂ© sur un rĂ©sultat qui utilises le mĂȘme procĂ©dĂ©: Tout sous-espace vectoriel admet une infinitĂ© de supplĂ©mentaires.
Je vois d'ailleurs que cette idée de somme revient beaucoup. Merci!
Espace
Sujet verrouilé par Vous êtes sur l'ancien Forum. Celui-ci est fermé. Cliquer ici pour accéder au nouveau Forum