Bonjour, en travaillant je me suis posé une question :
Soit [tex]E[/tex] un espace vectoriel de dimension finie [tex]=n[/tex] et [tex]F[/tex] un sous-espace vectoriel de [tex]E[/tex]
Si [tex]\mathcal{B}=(e_1,..,e_n)[/tex] est une base de [tex]E[/tex] alors [tex]\mathcal{B}\cap F[/tex] (abus d'écriture) est elle une base de [tex]F[/tex] ?

BJR Othùmane !!

Question intéressante ....
La réponse avec un exemple ....
La réponse est NON .
Tu prends E=IRxIR espace vectoriel de dim 2 avec B={i ; j} sa base canonique traditionnelle
i=(1,0) et j=(0,1)
Soit F le sev de IRxIR engendré par i+j=(1,1) il est de dimension 1

Dans cette situation [tex]\mathcal{B}\cap F[/tex] =VIDE ne saurait être une BASE de F !!!!

Réponse rapide , claire et nette.
Je me demande quand même si le résultat va changer dans le cas où l'intersection est non vide ...
Merci!

Re-BJR Othmane !!

Toujours avec le même exemple ...
Tu prends F égal au sev de IRxIR engendré par i et i+j c'est donc E tout entier !!!

On aura alors [tex]\mathcal{B}\cap F[/tex] ={i} qui ne saurait être une base de F .
Celà reste un système libre tout court .....

Bonsoir
Le résultat est donc faux en général , merci pour votre intérêt.

Salut,

On peut même donner un résultat plus fort :

Si E est un espace vectoriel et H un hyperplan de E alors il existe une base de E dont tous les vecteurs n'appartiennent pas à H.
(à démontrer)

Pusque un sous-espace vectoriel propre quelconque peut être toujours conteneu dans un hyperplan, le résultat est vrai si on remplace ci-dessus H par un ssous-espace vectoriel propre F de E.

Bonjour ,
Le résultat m’intéresse et parait très intéressant. un plan ou une idée de démonstration peut-être ?
Merci!!

Salut,
Tu part de la définition d'un hyperplan.
si [tex]H [/tex] est un hyperplan de [tex]E[/tex] alors [tex]H[/tex] est de codimension [tex]1.[/tex]
Il existe donc [tex]e \in E[/tex] tel que [tex]H \oplus {\mathbb K} e = E[/tex].
Soit [tex](e_i)_{i \in I}[/tex] une base de [tex]H[/tex]
Alors [tex](e,(e_i)_{i \in I} )[/tex] est une base de [tex]E[/tex]
Que peut on dire de [tex] (e,(e+e_i)_{i \in I})[/tex] ?

Je pense qu'il n'est pas trop difficile de montrer que cette famille est aussi une base de E (en dimension finie). En dimension infinie j'y réfléchis encore.
J'ai travaillé sur un résultat qui utilises le même procédé: Tout sous-espace vectoriel admet une infinité de supplémentaires.
Je vois d'ailleurs que cette idée de somme revient beaucoup. Merci!