Bonsoir
indications:
A- supposons [tex] \exists x_{0} , \forall g \in \mathcal{L}(E,E) , Img \neq vect (x_{0}) [/tex]
E est de dimension finie alors on peut trouver un F telque : [tex] vect (x_{0}) (+) F = E [/tex]
alors il suffit de considrer [tex] p[/tex] la projection sur [tex] vect (x_{0}) [/tex] en "parallele " Ã F
pour montrer l'absurdité.
rappel : [tex] Imp=vect (x_{0}) [/tex] et [tex] Kerp =F [/tex]
B - soit [tex] x \in E [/tex]
alors [tex] \exists g \in \mathcal{L}(E,E) , \forall y \in E \exists \alpha \in IK , g(y)=\alpha x [/tex]
on choisit un [tex] (y,f(y))\neq (0,0) [/tex] ( ce couple existe)
[tex] f(g(y)) =f(\alpha x)=\alpha f(x) [/tex] et [tex] \exists \beta \in IK^{*} , g(f(y))=\beta x [/tex]
puisque [tex] f(g(y))= g(f(y)) [/tex]
alors : [tex] \exists (\alpha,\beta)\in IK^{*}, \alpha f(x)+\beta x =0 \Rightarrow (x,f(x)) [/tex] liée
C - on va montrer [tex] \exists \lambda \in IK^{*} , \forall x\in E , f(x) =\lambda x [/tex]
soit un [tex] x \in E [/tex]
on considere un [tex] x_{0} [/tex] d'après A , [tex] \exists g \in \mathcal{L} (E,E) , g(x_{0} )= \alpha x [/tex]
on peut choisir un [tex] x_{0} , \alpha \neq 0 [/tex]
d'après B , [tex] \exists \lambda [/tex] , [tex] f(x_{0})=\lambda x_{0} [/tex]
d'autre part : [tex] f(g(x_{0}))= f(\alpha x)=\alpha f(x) [/tex] et [tex] g(f(x_{0}))=\lambda g(x_{0})=\lambda\alpha x [/tex]
alors [tex] \forall x \in E ; \alpha ( f(x) - \lambda x) =0 [/tex]
finalement [tex] \forall x\in E , f(x)=\lambda x [/tex]
donc on a montré que [tex]f [/tex] est une homotéthie de rapport [tex] \lambda [/tex]
cordialement
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