bonsoir,


soit E un espace vectoriel de dimension finie.


A) montrer que pour tout [tex]x\inE[/tex] , il existe un endomorphisme g de [tex]E[/tex] dont l'image est engendré par x.

B) soit f un endomorphisme de E qui commute avec tous les autres endo. de E.

M.q pour tout [tex]x\inE[/tex] [tex](x,f(x))[/tex] est liée.

C) En déduire que f est une homothétie.


Aide !


Salut !

Bonsoir

indications:

A- supposons [tex] \exists x_{0} , \forall g \in \mathcal{L}(E,E) , Img \neq vect (x_{0}) [/tex]

E est de dimension finie alors on peut trouver un F telque : [tex] vect (x_{0}) (+) F = E [/tex]

alors il suffit de considrer [tex] p[/tex] la projection sur [tex] vect (x_{0}) [/tex] en "parallele " à F
pour montrer l'absurdité.

rappel : [tex] Imp=vect (x_{0}) [/tex] et [tex] Kerp =F [/tex]

B - soit [tex] x \in E [/tex]

alors [tex] \exists g \in \mathcal{L}(E,E) , \forall y \in E \exists \alpha \in IK , g(y)=\alpha x [/tex]


on choisit un [tex] (y,f(y))\neq (0,0) [/tex] ( ce couple existe)

[tex] f(g(y)) =f(\alpha x)=\alpha f(x) [/tex] et [tex] \exists \beta \in IK^{*} , g(f(y))=\beta x [/tex]

puisque [tex] f(g(y))= g(f(y)) [/tex]

alors : [tex] \exists (\alpha,\beta)\in IK^{*}, \alpha f(x)+\beta x =0 \Rightarrow (x,f(x)) [/tex] liée

C - on va montrer [tex] \exists \lambda \in IK^{*} , \forall x\in E , f(x) =\lambda x [/tex]

soit un [tex] x \in E [/tex]

on considere un [tex] x_{0} [/tex] d'après A , [tex] \exists g \in \mathcal{L} (E,E) , g(x_{0} )= \alpha x [/tex]

on peut choisir un [tex] x_{0} , \alpha \neq 0 [/tex]

d'après B , [tex] \exists \lambda [/tex] , [tex] f(x_{0})=\lambda x_{0} [/tex]

d'autre part : [tex] f(g(x_{0}))= f(\alpha x)=\alpha f(x) [/tex] et [tex] g(f(x_{0}))=\lambda g(x_{0})=\lambda\alpha x [/tex]

alors [tex] \forall x \in E ; \alpha ( f(x) - \lambda x) =0 [/tex]

finalement [tex] \forall x\in E , f(x)=\lambda x [/tex]

donc on a montré que [tex]f [/tex] est une homotéthie de rapport [tex] \lambda [/tex]

cordialement