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elhor_abdelali
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Une propriété des polynômes complexes 11/02/2014 à 13h56
Bonjour ,

Soit [tex]P[/tex] un polynôme unitaire de [tex]\mathbb{C}[X][/tex] de degré [tex]d[/tex] .

Montrer qu'il existe au moins une racine [tex]2d-[/tex]ième [tex]z[/tex] de l'unité telle que [tex]|P(z)|\ge1[/tex] .
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 jandri
Re : Une propriété des polynômes complexes 11/02/2014 à 16h37
Bonjour elhor_abdelali,

Merci pour cet exercice. On peut généraliser un peu:

Soit [tex]P[/tex] un polynôme unitaire de [tex]\mathbb{C}[X][/tex] de degré [tex]d\ge1[/tex] .

Pour tout entier [tex]n>d[/tex] il existe au moins une racine [tex]n-[/tex]ième [tex]z[/tex] de l'unité telle que [tex]|P(z)|\ge1[/tex].

Je l'ai montré par l'absurde en calculant la somme des [tex]\frac{P(z_k)}{(z_k)^d}[/tex], [tex]z_k[/tex] décrivant les racine [tex]n-[/tex]ièmes de l'unité.
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elhor_abdelali
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Re : Une propriété des polynômes complexes 12/02/2014 à 21h49
Oui jandri c'est une généralisation intéressante . Merci ! Je l'ai même proposé en colle à mes élèves .
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