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EL MOUFID EL MEHDI
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somme des produits 01/03/2012 à 20h15
Bsr
svp quelqu'un a une idée sur cette question ?

[tex]\Large \sum_{i=0}^{i=n}{\Large \prod_{j=0}^{j=n}{i+j}}[/tex]

MErci d'avance
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evariste

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Re : somme des produits 01/03/2012 à 21h36
Bonsoir,

Le premier terme est nul, on peut donc commencer la somme à [tex]i=1[/tex]

Remarquons que [tex]\large \prod_{j=0}^{j=n}(i+j)=\frac{(n+i)!}{(i-1)!}=(n+1)!C_{n+i}^{n+1}[/tex]

La somme à évaluer est donc [tex]\large (n+1)!\sum_{i=1}^nC_{n+i}^{n+1}[/tex]

à ce stade on utilise une identité classique: Si [tex]q\geq p[/tex] alors [tex]\large C_p^p+C_{p+1}^p+\cdots+C_q^p=C_{q+1}^{p+1}[/tex]. C'est facile à prouver par récurrence. Il ne reste qu'à recoller les morceaux.
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EL MOUFID EL MEHDI
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Re : somme des produits 02/03/2012 à 02h59
Ok
MErci evariste une autre fois.
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elhor_abdelali
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Re : somme des produits 06/03/2012 à 01h54
Bonjour ,

on peut aussi remarquer que [tex]\Large\sum_{i=0}^n\prod_{j=0}^n(i+j)[/tex] est la valeur en [tex]\Large X=1[/tex]

de la d√©riv√©e d'ordre [tex]\large n+1[/tex] du polyn√īme [tex]\Large Q(X)=\sum_{i=0}^{2n}X^i[/tex]

et la formule de dérivation de Leibniz donne

[tex]\Large\fbox{(X^{2n+1}-1)^{(n+2)}=\left((X-1)Q(x)\right)^{(n+2)}=(X-1)Q^{(n+2)}(X)+(n+2)Q^{(n+1)}(X)}[/tex]

d'o√Ļ [tex]\blue\Large\fbox{\sum_{i=0}^n\prod_{j=0}^n(i+j)=Q^{(n+1)}(1)=\frac{n(n+1)..(2n+1)}{n+2}}[/tex] (sauf erreur bien entendu)
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Lotus_Bleu
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Re : somme des produits 06/03/2012 à 10h14
BJR au Forum .

Merci beaucoup à Hicham & Abdelali !!

@ Abdelali : y en a beaucoup dans votre sac à Astuces !!

Amicalement . LHASSANE
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elhor_abdelali
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Re : somme des produits 06/03/2012 à 13h33
Merci ci LHASSANE !!

pour la formule suggérée par evariste (que je salue !) [tex]\blue\Large\fbox{\sum_{k=p}^qC_k^p=C_{q+1}^{p+1}}[/tex]

elle se montre aussi par téléscopie en utilisant la formule de Pascal [tex]\red\Large\fbox{C_{k+1}^{p+1}=C_k^p+C_k^{p+1}}[/tex]

d'o√Ļ [tex]\Large\fbox{\sum_{k=p}^qC_k^p=\sum_{k=p}^qC_{k+1}^{p+1}-C_k^{p+1}=C_{q+1}^{p+1}}[/tex]

en adoptant bien entendu la généralisation [tex]C_i^j=0[/tex] pour [tex]i<j[/tex]
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