bonjour,bonsoir

je propose cet exo :
[tex] A \in \large\cal{M_{n}}(\mathbb{C}) [/tex] montrer l'equivalence entre

i) A nilpotente
ii)il existe une suite (Bp) de matrice semblables a A qui converge vers 0

toute participation est la bienvenue

merci

Bonjour ,

[tex]\Large\fbox{i)\Rightarrow ii)}[/tex]

[tex]A[/tex] est semblable dans [tex]\mathcal M_n(\mathbb{C})[/tex] à une matrice triangulaire supérieure [tex]T[/tex]

comme [tex]T[/tex] est nilpotente elle est à diagonale nulle , on écrit alors [tex]\Large\fbox{T=\left(t_{_{i,j}}\right)_{_{1\le i,j\le n}}\\i\ge j\;\Rightarrow\;t_{_{i,j}}=0}[/tex]

pour [tex]p\in\mathbb{N^{*}}[/tex] soit la matrice diagonale [tex]\Large\fbox{Q_{_p}=diag\left(\frac{1}{p}\;,\;.\;.\;,\;\frac{1}{p^n}\right)}[/tex]

on vérifie assez facilement que [tex]\blue\Large\fbox{\underbrace{Q_{_p}^{-1}TQ_{_p}}_{B_{_p}}=\left(\frac{t_{_{i,j}}}{p^{j-i}}\right)_{_{1\le i,j\le n}}}[/tex] ...


[tex]\Large\fbox{ii)\Rightarrow i)}[/tex]

Soit [tex]\left(B_p\right)[/tex] une suite de matrices semblables à [tex]A[/tex] et convergente vers la matrice nulle .

L'application [tex]\Large\fbox{\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\to\mathbb{C}_n[X]\\\;\;\;\;\;M\mapsto\chi_M=Det(M-XI_n)}[/tex] étant continue

on a [tex]\Large\fbox{\lim_{p\to+\infty}\;\chi_{B_p}=\chi_0=X^n}[/tex]

et comme [tex]\Large\fbox{\forall p\;,\;\chi_{B_p}=\chi_A}[/tex] on a [tex]\blue\Large\fbox{\chi_A=X^n}[/tex] ...